Categorie archieven: Geschiedenis

Quipu

Geplaatst op door

Het eerste schrift in de geschiedenis was geen volledig schrift. Een volledig schrift is een systeem van tekens dat gesproken taal min of meer kan weergeven. Een gedeeltelijk schrift daarentegen is een systeem van tekens dat alleen bepaalde soorten informatie kan weergeven. De Inka’s hadden zo een gedeeltelijk schrift. Het werd niet geschreven op kleitabletten ( zoals het Soemerische schrift) of stukjes papier, maar geknoopt op kleurrijke koordjes die quipu’s heetten.

In elke koord werden op verschillende plaatsen knopen gelegd. Eén quipu kon honderden koordjes bevatten. Door combinaties van verschillende knopen in verschillende koorden in verschillende kleuren konden grote hoeveelheden rekenkundige gegevens vastgelegd worden over bijvoorbeeld belastinginning en eigendomsrechten.

 

Griekse wiskunde: deel 4

Geplaatst op door

De  4de eeuw voor  Christus: bloeiperiode van de wiskunde. De tijd van Plato en Aristoteles.

We beperken ons tot een overzichtelijke samenvatting van de wiskundige werken, waaruit de krachtlijnen van de onderzoeken zouden moeten blijken. De meeste bijdragen halen een hoog wetenschappelijk niveau en de bewijzen zijn niet alleen wiskundig streng maar getuigen ook van een grote denkkracht en een rijke creativiteit. In het filosofisch stelsel van Plato wordt de wiskunde verheven tot de kunst van het exact redeneren over louter abstracte begrippen, die dus los dienen te staan van elke zintuigelijke waarneming.

  • de  irrationale getallen: Theaetetus (414-370 v.C.), vriend van Plato en Socrates,  stelt in een samenspel tussen meetkunde en getallenleer een classificatie op van 13 irrationaliteiten en bewees ook dat de verzameling irrationale getallen oneindig is.
  • de bekende wiskundige van deze tijd was Eudoxos van Cnidus (405-315 v.C.) .  Hij werkte vooral rond de gulden snede, de doorsnede van krommen en de verdubbeling van een kubus .Hij heeft eveneens ontdekt dat de verhouding van het volume van een piramide ten opzichte van een prisma op hetzelfde grondvlak een op drie is. 
  • De exhaustie methode : het geniale antwoord van Eudoxos op de paradoxen van Zeno. Heeft me, 2 ongelijke grootheden van een zelfde soort, dan kan steeds een natuurlijk getal gevonden worden dat met hun verschil vermenigvuldigd, elke gegeven grootheid van die soort overtreft. Hiermee bewees hij bvb. dat de oppervlakten van twee cirkels zich verhouden als de kwadraten van hun stralen.
  • De 5 regelmatige veelvlakken ( platonische lichamen) , veelvlakken die begrensd zijn door een aantal congruente regelmatige veelhoeken: tetraëder, kubus, dodecaëder, octaëder en de isocaëder. De drie eersten waren reeds bekend aan de Pythagoreeërs. Het was Theaetetus die de laatste twee ontdekte en een nauwkeurige beschrijving gaf van de constructie en de berekening van de ribben in functie van de straal van de omgeschreven bol.
  • Het bestuderen van de 3 grote problemen ( driedeling hoek, verdubbeling kubus en kwadratuur van de cirkel) leidde tot de studie van speciale krommen: de kwadratix ( Hippias van Elis , rond 420 v.C.), de kegelsneden ( Menaechmus rond 350 v.C.)
  • Er ontstond meer en meer de noodzaak om de volledige wiskundige kennis te ordenen tot een samenhangend geheel. Hippochrates van Chios zou de samensteller zijn van de eerste zogenaamde Elementen.  Van hem zijn ook  de maantjes van Hippocrates. 

Griekse wiskunde: deel 3

Geplaatst op door

De 5de eeuw voor Christus: de eeuw van Pericles, de gouden tijd voor de ontwikkeling van de letteren en de schone kunsten.

Eerste crisisperiode in de wiskunde: de sterke kritische reactie tegen de Pythagorese opvattingen is het werk van onder andere Heraclitus van Ephese (540 v.C. – 480 v. C.) en de wijsgeren uit de school van Elea.Hoewel niet gericht tegen de wiskunde als exacte wetenschap veroorzaakt deze scherpe rationalistische kritiek toch een eerste crisis van het wiskundig denken en leidt ze tot een streng-mathematische aanpak bij de volgende generatie wiskundigen.  Als belangrijkste factoren van deze crisis stippen we aan :

  • de ontdekking van irrationale getallen
  • de paradoxen van Zeno ( som van een oneindig aantal termen is niet steeds oneindig)
  • de trisectie van de hoek, de kwadratuur van de cirkel en de verdubbeling van de kubus (ze vonden geen oplossing met passer en liniaal)

Tijdens de tweede helft van de 5de eeuw vermelden we nog :

  • Meetkunde van de cirkel ( verwaarloosd door Pythagoras)
  • Theodorus van Cyrene toont aan dat de zijden van de vierkanten met oppervlakte 3,5,6,…,17 onmeetbaar zijn en bewijst dus dat \sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},...,\sqrt{17} irrationale getallen zijn: de spiraal van Theodorus: 


  • Begin van de ruimtemeetkunde ( stereometrie) en perspectiefleer.

Griekse wiskunde deel 2

Geplaatst op door

De bloeitijd van de school van Pythagoras (550-450 v. C.)

Pythagoras( 580-497 v.C.) was de stichter van het filosofisch-religieus-wetenschappelijk genootschap dat in Croton( Zuid-Italie) rond het midden van de 6 de eeuw voor Christus tot ontwikkeling komt en waarvan de leden ( Pythagoreeers genoemd) zich later over de Griekse steden in Zuid-Italie verspreiden. Volgens hun leer moet de onsterfelijke ziel gereinigd worden door het  onderhouden van strenge leefregels ( Acusmata) en door de studie van muziek, getallenleer, meetkunde en sterrenkunde ( de 4 Mathemata). Elke abstracte of concrete werkelijkheid kan door een natuurlijk getal voorgesteld worden.  Alle ontdekkingen worden aan de meester (Pythagoras) opgedragen zodat er geen namen van wiskundigen uit die tijd bekend zijn.  Na zijn dood valt de school uiteen in verschillende sektes: de Mathematicoi die een haast zuiver wetenschappelijke richting uitgaan en de Acuslaticoi die trouw blijven aan de strenge leefregels.  Tot deze laatste groep hoort een Pythagoraeeer die het bestaan van een irrationaal getal ontdekt en daardoor het ganse Pythagorische wereldbeeld laat  instorten. De  meeste sekten worden rond 430 v.C. door de Atheense aristocratie uit Zuid-Italie verbannen.

De grootste verdienste van de Pythagoreeers bestaat hierin dat zij de wiskunde, en vooral de meetkunde, definitief bevrijd hebben van utilitaire motieven. 

Behandelde onderwerpen uit de meetkunde : 

  • stelling van Pythagoras
  • som van de hoeken van een driehoek
  • hoeken die ontstaan door twee evenwijdigen te snijden met een derde rechte
  • oppervlakte van een willekeurige veelhoek
  • eigenschappen van hoeken en bogen in een cirkel

De Pythagorische meetkunde vertoont veel sporen van Babylonische herkomst; zo zijn er een hele reeks stellingen die duidelijk het meetkundig verlengstuk zijn van algebraische vraagstukken . We vinden bijvoorbeeld de formule a^2-b^2=(a+b)(a-b) als betrekkingen tussen oppervlakten van rechthoeken en vierkanten.

Of: is een lengte a en een oppervlakte S gegeven, construeer dan een lengte x zodat de rechthoek met zijden a + x en x als oppervlakte S heeft: deze opgave laat zich herleiden tot het oplossen van de vergelijking ax+x^2=S.

Het abstract getal begrip is ongetwijfeld een creatie van de Pythagoreeers; Ze ontwikkelden een vrij hoogstaande theorie van de natuurlijke getallen, waarbij ze ook gebruik maakten van meetkundige figuren.    Behandelde onderwerpen uit getallenleer :

  • eigenschappen van even en oneven getallen
  • theorie van deelbaarheid (priemgetallen)
  • theorie van evenredigheden
  • kwadraatgetallen, driehoeksgetallen rechthoekige getallen, ruimtelijke getallen

Voor de Pythagoreeers van de oude school waren de natuurlijke getallen de bouwstenen waarmee de hele kosmos kon beschreven worden. Het bestaan van andere dan natuurlijke getallen is voor hen gewoon ondenkbaar. Zij beschouwen breuken dan ook niet als getallen, maar als verhoudingen van twee natuurlijke getallen ( leer van de evenredigheden ). De ontdekking van een getal dat noch een natuurlijk getal is noch een breuk, m.a.w. dat niet rationaal  (ratio=rede,verhouding) is, dus irrationaal, betekent dan ook de totale instorting van de kosmologische opbouw van de Pythagoreeers.

Ze bewijzen dat de schuine zijde en een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek ( met als rechthoekszijden 1 eenheid) onderling onmeetbaar zijn, waarmee bedoeld wordt dat er geen lijnstuk bestaat dat een geheel aantal keren zowel in de schuine als de rechthoekszijde gaat ( = de verhouding van de schuine zijde tot de rechthoekzijde is een irrationaal getal, dat wij voorstellen als \sqrt{2}. Alzo doorbreken de Pythagoreeers zelf de begrenzingen van hun getalbegrip.

      

Griekse wiskunde: deel 1

Geplaatst op door

De intellectuele geschiedenis van Griekenland ontstaan is de Archaïsche periode ( 8 ste – 6 de eeuw voor Christus) in de stadstaten aan de boorden van de Egeïsche zee.

Deze steden zijn handelscentra die in contact komen met de Oosterse beschavingen. Zo wordt op het einde van de 7de eeuw v. C. , en ongetwijfeld uit Babylonische en Egyptische bronnen, de wiskunde, in het bijzonder de meetkunde, door Thales van Milete
( 624 v.C.-545 v.C.) geïntroduceerd.

Eerste van 7 wijzen, vader van de Griekse meetkunde, ziehier twee epitheta van Thales. De filosofen uit die tijd stelden zich tot doel orde te scheppen in de schijnbare wanorde van de ons omringende werkelijkheid. Ze probeerden een antwoord te vinden op de vraag naar het waarom der dingen. Geconfronteerd met de onbetrouwbare gegevens van de Babylonische en Egyptische wiskunde, probeerde Thales dan ook niet alleen de waarheid, maar ook het waarom van die resultaten te achterhalen en ze te ordenen. De Griekse meetkunde vertoont aldus van bij de geboorte haar karakter van deductieve wetenschap. 

Volgende stellingen worden aan Thales toegeschreven:

  • elke middellijn verdeelt de cirkel in twee congruente delen.
  • de basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.
  • overstaande hoeken zijn gelijk.
  • het congruentiekenmerk HZH.

Onder druk van de Perzische veroveringen in Klein-Azië verplaatst het centrum van de culturele activiteiten zich halfweg de 6de eeuw v.C. naar Zuid-Italië en Sicilië: hier komt men in de school van Pythagoras tot intensieve beoefening van de wiskunde.