Categorie archieven: Geschiedenis

Grieks wiskunde : deel 8

Geplaatst op door

Apollonius van Perga (262-180 v.C.) is na Euclides en Archimedes, de derde en laatste grote Griekse wiskundige.

Hij is de auteur van de beroemde verhandeling in 8 delen : de Konica, over kegelsneden. Hierin definieert hij de kegelsneden als vlakke doorsneden van kwadratische kegels en ontwikkelt hij, in een klare en zuiver meetkundige stijl, een studie van deze krommen.

Gebruik makend van methodes van de meetkundige algebra, stelt hij de kegelsneden voor door hun zogenaamde symptoom . Voor ons betekent dit niet minder of meer een carthesische vergelijking. Het hoeft ons dan ook niet te verwonderen dat dit werk van Apollonius aan de basis ligt van latere studies van Descartes en Fermat, waaruit de moderne analytische meetkunde is ontstaan.

Ingrid Daubechies

Geplaatst op door

Ingrid Daubechies is een Vlaamse wiskundige, geboren in Houthalen op 17 augustus 1954. Ze is vooral bekend voor haar bijdrage aan de  theorie van de wavelets,  die gebruikt woede in beeldcompressie. De zogenaamde Daubechies wavelets vormen de basis van het JPEG2000 formaat dat in digitale cinema wordt gebruikt. Zij studeerde en doctoreerde aan de VUB en geeft momenteel les aan de Dure University in North Carolina. In een lovend artikel in de New York Times wordt zij de ‘Meryl Streep van de wiskunde ‘ genoemd (naar hoe een student haar noemde)

Men bestudeert hierbij wiskundige structuren  die gezien worden als een soort van golfjes. Daubechies ontdekte dat er diverse soorten van wavelets bestaan. Zij beschreef hiervan de eigenschappen in haar intussen klassiek geworden publicatie: Ten Lectures on Wavelets (1992).

Ze probeert ook haar wiskundige theorie praktisch te gebruiken.  We hebben hierboven al gesproken over het JPEG2000 formaat. Maar ook  de Amerikaanse inlichtingendienst FBI kon  profijt  trekken uit haar theorie: dankzij de ‘Daubechies Wavelets’ slaagde men erin om alle beschikbare vingerafdrukken drastisch te comprimeren, waardoor persoonsidentificaties en identiteitscontroles nu veel efficiënter gebeuren.

wavelets

 

Dat Daubechies sterk betrokken blijft bij de praktijk, blijkt ook uit haar initiatief om sedert 2010 via de VUB jaarlijks de wedstrijd ‘Wiskunnend Wiske’ te organiseren. Op die manier kruisen ieder jaar in Vlaanderen zowat 2.000 scholieren, vooral meisjes, de degens bij het zoeken naar oplossingen voor intrigerende wiskundige opdrachten.

Griekse wiskunde deel 7

Geplaatst op door

Archimedes leefde in Syracuse van 287 tot. 212 v.C. en verbleef aan het hof van koning Hieron. Bij zijn tijdgenoten verwierf hij grote vermaardheid, niet zozeer voor zijn zuiver wetenschappelijk werk, maar vooral door zijn talrijke technische realisaties van ingenieuze werktuigen en machines( pompen, kranen , katapulten,..).

Als zuiver platonische wiskundige is hij zelf minder gelukkig met zijn materialistische nevenactiviteiten. Tijdens een reis naar Egypte maakt hij kennis met Euclides en vanaf dan onderhoudt hij een vrij drukke wetenschappelijke briefwisseling met andere wiskundigen zoals bvb. Erastosthenes. Meestal deelt hij enkel resultaten mee, daarmee zijn collega’s uitdagend om er zelf een bewijs voor te vinden.

Van zijn uitgebreid oeuvre bleven enkel volgende werken bewaard: Over het evenwicht van vlakke figuren en hun zwaartepunt,  de kwadratuur van de parabool, de methode, over de bol en de cilinder, over de conoïden en de sferoïden. over de spiralen, over de drijvende lichamen, de cirkelmeting en de zandrekenaar.

De methode: dit werk werd pas in 1906 bij toeval teruggevonden door de Deense filoloog Heiberg op een palimpsest uit een kloosterbibliotheek. In dit werk leert Archimedes ons dat de strenge deductieve methode , waarvan Aristoteles de formele regels vastlegde en die Euclides in zijn Elementen zo perfect illustreerde, een procédé is dat haast alleen nuttig is om bewijzen van gekende resultaten te leveren.Voor het creatief onderzoekingswerk geeft hij de voorkeur aan zogenaamde mechanische methodes die, omdat ze op fysische inzichten berusten, minder streng maar zoveel vruchtbaarder zijn. Nadat hij langs deze heuristische weg resultaten ontdekt heeft, geeft hij een streng bewijs waarbij hij dikwijls gebruik maakt van Eudoxos’ exhaustiemethode.

Griekse wiskunde deel 6

Geplaatst op door

Over de mens Euclides is weinig bekend, We weten dat hij rond 300 v.C. wiskunde doceerde in het museion van Alexandrië. Gevormd in de scholen van Plato en Aristoteles, is hij dus één van de Griekse intellectuelen die naar Alexandrië toestroomden om er beroepsgeleerde te worden. 

Uit de analyse van zijn werken is vrij duidelijk te zien dat Euclides geen groot wiskundige was, maar wel een buitengewone didacticus. Zo ligt het geniale van zijn Elementen niet zozeer in de inhoud, want die is afkomstig van zijn grote voorgangers Archytas, Theatetus en Eudoxos. Maar het bijzondere is de gepaste keuze van de volgorde, waar de verschillende onderdelen worden behandeld. Een vrij omvangrijk eerste deel is ook toegankelijk voor middelmatige leerlingen, de moeilijke delen komen pas later aan de beurt.

De elementen staat zeker op de lijst van de boeken die het grootst aantal uitgaven en vertalingen hebben gekend. Deze bestseller omvat 13 boeken, waaraan door latere wiskundigen nog 2 boeken zijn toegevoegd. ( o.a. een boek over regelmatige veelvlakken). De boeken 1 tot 4 handelen over de meetkunde van de rechte, de driehoek en de cirkel. Boeken 5 en 6 zijn gewijd aan de leer van de evenredigheden en de gelijkvormige figuren. In boeken 7,8 en 9 gaat het over de natuurlijke getallen. Boek 10 bestudeert de irrationale getallen. Tenslotte gaat het in de boeken 11,12 en 13 over de meetkunde van de ruimte en de 5 regelmatige veelvlakken.

Vierkantswortels

Geplaatst op door

Vierkantswortels zijn al eeuwenlang bekend. De Rhindpapyrus verwijst al in 1650 v.Chr. naar vierkantswortels, maar dat is niet zo vreemd, want wortels houden verband met oppervlaktes en diagonalen van vierkanten en rechthoeken.

\sqrt{2} was nogal wat voor de Pythagoreeëers. De ontdekking dat de wortel van 2 irrationaal was, zat hen echt dwars. De idee dat een getal niet kon worden uitgedrukt als een breuk was ondenkbaar. Het was Hippasus van Metaponte die dit bewijs leverde en het verhaal gaat dat hij zijn ontdekking op zee deed, waarna hij overboord werd gegooid!Archimedes maakte een zeer nauwkeurige schatting van de wortel uit 3 :

    \[\frac{265}{153}<\sqrt{3}<\frac{1351}{780}\]

of uitgedrukt in decimalen: 1,7320261<\sqrt{3}<1,7320512.  Let op dat dit tweede getal slechts 0,0000004 afwijkt , wat erg nauwkeurig is gezien Archimedes geen rekentoestel had en niet werkte in het tientallig stelsel. Sommige bronnen beweren dat hij de Babylonische methode volgde.

Deze methode, ook Herons methode genoemd, is een fraaie iteratieve formule. Bij \sqrt{S} , nemen we eerst een ruwe schatting en noemen die x_0. Verder geldt:

    \[x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{S}{x_n}\Big)\]

Op het rekentoestel vinden we voor de wortel uit 3 de waarde 1,732050808. Als eerste schatting nemen we x_0=2. dan is x_1=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=1,75. We hebben al twee cijfers juist. Een betere benadering is x_2=\frac{1}{2}(1,75+\frac{3}{1,75})=1,7321. Nu hebben we de eerste 4 cijfers van \sqrt{3} en als we willen, kunnen we hiermee doorgaan om steeds een nauwkeurigere schatting te krijgen van de wortel uit 3.