Categorie archieven: Geschiedenis

Geschiedenis van de kansrekening: deel 4

Geplaatst op door

Rond de eeuwwisseling hebben grote wiskundige zoals Poincaré(1854-1912) en Hilbert(1862-1943) geprobeerd om de kansrekening nieuw leven in te blazen. Zonder veel succes echter, omdat de kanstheorie gebouwd was op los zand. In 1919 was er een eerste poging tot axiomatisering  door Richard von Mises (883-1953), een Oostenrijkse wetenschapper en filosoof.

Zijn axioma’s steunden op de frequentiedefinitie van het begrip kans als limietwaarde van de relatieve frequentie, als het aantal proefnemingen oneindig groot wordt.

Rond 1920 was er veel wiskundig onderzoek rond de zogenaamde centrale limietstelling: gestandaardiseerde sommen van onafhankelijke toevalsveranderlijken hebben een verdelingsfunctie die dicht  bij de standaardnormale verdelingsfunctie ligt. Het woord centraal in centrale limietstelling verwijst naar de centrale rol die deze stelling speelt in de kanstheorie en de statistiek. Een eerste bewijs werd gegeven door Lyapunov in 1900. Belangrijke resultaten rond deze stelling en haar veralgemeningen kwamen in de twintiger jaren van de Rus Bernstein(1880-1968), de Fin Lindeberg(1876-1932)  en de Franse wiskundige Lévy(1886-1971). In veel van de bewijzen was de kanstheorie eerder bijzaak; alles kon met de klassieke analyse bewezen worden.

Geschiedenis van de kansrekening: deel 3

Geplaatst op door

Een volgende belangrijke stap in de ontwikkeling van de kanstheorie is het werk Analyticus des Probabilités (1812) van Pierre-Simon  Laplace(1749-1827)

 

Hij baseerde zijn kanstheorie op combinatieleer en gebruikte als definitie van kans de verhouding van het aantal gunstige gevallen tot het aantal mogelijke gevallen. Dit kan uiteraard enkel als elke uitkomst van het kansexperiment even waarschijnlijk is. Dit houdt een ernstige beperking in. Het werk van Laplace bevat belangrijke resultaten, maar de streng-wiskundige opbouw ontbreekt.

Na Laplace was er een ernstige verzwakking van de interesse voor de kanstheorie.  Er werd nog wel interessant werk verricht door P.L.Chebyshev(1821-1894), Markov(1856-1922) en Lyapunov(1857-1918), de grondleggers van de sterke hedendaagse Russische school in kanstheorie.

Geschiedenis van de kansrekening: deel 2

Geplaatst op door

Een volgende mijlpaal kwam er van Jakob Bernoulli( 1654-1705). zijn werk Ars Conjectandi werd postuum door zijn neef gepubliceerd in 1713.

Het bevatte ondermeer het eerste bewijs van de zwakke wet van de grote aantallen. Deze wet laat zien dat de verdeling van het gemiddelde van een n-tal onafhankelijke  en gelijkverdeelde toevalsvariabelen voor toenemede n meer en meer geconcentreerd wordt om de verwachtingswaarde.

Een ander hoogtepunt uit de 18de eeuw was het werk Essai d’Analyse sur les Jeux de Hasard(1708)  van Pierre-Rémond de Montfort(1678-1719).

Tenslotte vermelden we ook nog het boek Doctrine of Chances van Abraham de Moivre(1667-1754)

Geschiedenis van de kansrekening

Geplaatst op door

Waarschijnlijk zijn de eerste wiskundige discussies over kansen ontstaan bij gokkers uit de 17de eeuw die zich vragen stelden over spelletjes met dobbelstenen en speelkaarten. Deze gokkers vroegen raad aan de Franse wiskundige Blaise Pascal(1623-1662), die op zijn beurt hierover correspondeerde met Pierre de Fermat(1601-1665).

Ze gebruikten combinatorische methoden om sommige van deze vraagstukken op te lossen. In 1657 verscheen van de Nederlander Christiaan Huygens (1629-1695) het boek De Ratiociniis is Alea Ludo. Dit boek werd beschouwd als eerste invloedrijk werk over kansrekenen.

Kolmogorov

Geplaatst op door

Andrei Nikolaevitch Kolmogorov ( 1903-1987) was een Russisch wiskundige. Op 17-jarige leeftijd begon hij zijn studies aan de staatsuniversiteit van Moskou. Zijn eerste onderzoeksresultaten verkreeg hij in de verzamelingenleer en de theorie van de Fourierreeksen.

In 1925 behaalde hij zijn graag aan de faculteit fysica en wiskunde. Via een samenwerking met Khinchin( 1894-1959)  groeide zijn interesse in de kanstheorie en in 1929 publiceerde hij voor het eerst een axiomatische opbouw van deze discipline. De resultaten verschenen in grundbegriffe der Warscheinlichkeits-rechnung ( Ergernis der Mathematiek,Berlin,1933).

In 1931 werd hij professor aan de universiteit. Naast de grondslagen van de kanstheorie leverde hij ook belangrijke bijdragen aan het bewijs van de sterke wet van de grote aantallen, Markovprocessen en partiële differentiaalvergelijkingen. Hij was ook erg begaan met het schrijven over onderwijs in het algemeen en over wiskunde-onderwijs in het bijzonder. Hij richtte een school op voor kinderen met een bijzondere begaafdheid voor wiskunde. In 1940 kreeg hij de Sovjet Staatsprijs voor zijn onderzoek in de theorie van de stochastische processen en later in 1965 kreeg hij voor zijn werk de Leninprijs, de hoogste onderscheiding in de Sovjetunie.

Waaruit bestaat nu die axiomatische opbouw? Als U de uitkomstenverzameling is van een kansexperiment, dan is wordt een kansfunctie P  gedefinieerd door volgende 3 axioma’s:

  • Het is een functie op de verzameling deelverzamelingen (gebeurtenissen) van U die met elke gebeurtenis een getal groter of gelijk aan nul associeert.
  • De  kansfunctie P beeldt U af op 1, m.a.w. P(U) = 1.
  • De kansfunctie beeldt de unie van twee gescheiden gebeurtenissen af op de som van de beelden van elke gebeurtenis: P(A of B) = P(A) + P(B) ( tenminste als A en B geen elementen gemeen hebben)