Even huisnummers

Geplaatst op 21 december 2017 door admin

Ik woon aan de kant van de even huisnummers in mijn straat. Als ik de huisnummers van de huizen links van mij optel en daarna die van rechts, dan zijn die twee sommen gelijk. Hoeveel huizen staan er aan de even kant in mijn straat en op welk nummer woon ik?

Veronderstel dat ik in het (k+1) ste huis woon, dan staan er k huizen links van mij, met nummers 2,4,6,…,2k. Dit zijn termen van een rekenkundige rij en dus kunnen we de som berekenen:

$S_l=\frac{1}{2}k.(2+2k)=k^2+k$

Als er n huizen staan in mijn straat, dan bevinden zich rechts van mij nog n-k-1 huizen, met nummer 2k+4,2k+6,…,2n. Ook hier hebben we een rekenkundige rij, dus :

$S_r=\dfrac{1}{2}(n-k-1)(2k+4+2n)=(n-k-1)(n+k+2)$

Nu moet $S_l=S_r$ . Dit geeft na uitwerking:

$2k^2+4k-(n^2+n-2)=0$

Dit is een Diophantische vergelijking. We zoeken naar gehele oplossingen . Bijgevolg moet $k=\dfrac{-4 \pm \sqrt{16+8(n^2+n-2)}}{4} \in \mathbb{Z}$ . Hieruit volgt:

$k=-1 \pm \sqrt{\frac{1}{2}(n^2+n)} \in \mathbb{Z}$

Daarom moet $n^2+n =2x^2$ met $x\in \mathbb{Z}$ . Dit valt te herschrijven als

$(2n+1)^2-8x^2=1$

Vergelijkingen van de vorm $x^2-Ay^2=1$ noemt men vergelijking van Pell. Dit type vergelijkingen is moeilijk op te lossen, maar we kunnen wel een aantal oplossingen ‘proberen’, omdat de straten bij ons niet zo lang zijn. Zo vinden we :

$\begin{array}{c|c|c} n&k+1&\text{huisnummer}\\ \hline \\ 1&1&2\\8&6&12\\49&35&70\\288&204&408 \end{array}$

De eerste oplossing is een beetje absurd: een straat met maar 1 huis. Bij de tweede oplossing telt de straat 8 huizen langs de even kant en woon ik in huisnummer 16. Links van mij heb je de nummers 2,4,6,8 en 10 met som 30 en rechts van mij de nummers 14 en 16, ook met som 30. De derde oplossing geeft een straat met 49 huizen en ik woon op nummer 70.

Mongolian Mathematical Olympiad

Geplaatst op 28 mei 2017 door admin

Officieel startte de Mongoolse Wiskunde Olympiade (MMO) in 1965 en de eerste deelname van Mongolië aan de International Mathematical Olympiad (IMO) dateert van 1964. In 1969 werd voor de eerste keer een probleem , voorgesteld door de Mongoolse Wiskundige, Abish Mekei (1940 – 2013), gekozen als een van de zes problemen van de IMO. Tijdens de IMO werd de oorspronkelijke oplossing van dit probleem verbeterd door een van de deelnemers, Vladimir Drinfeld, de latere Fields medaillewinnaar.

Een van de eerste generatie algebraïsten, Sanjmyatav Urjintseren (1926 – 2003), was een belangrijke figuur in de Olympische beweging, en hij trad op als de Voorzitter van het nationale Olympisch Comité gedurende 17 jaar. In 1994 kreeg hij de Paul Erdős Award voor zijn belangrijke rol in de ontwikkeling van wiskundige uitdagingen op nationaal en internationaal niveau. Opgaven van deze olympiade kan je hier vinden.

Het tovervierkant van Lo Shu

Geplaatst op 16 februari 2017 door admin

Een tovervierkant is een vierkantig rooster van getallen zodat de som van de elementen op elke rij, kolom en diagonaal hetzelfde is. Het oudste tovervierkant wordt toegeschreven aan Lo Shu en dateert van omstreeks 2200 voor onze tijdrekening. Hij was gekerfd in het schild van een schildpad in de Lo-rovier.

Of in matrixvorm :

Als we deze matrix L noemen , kunnen we ook L² en L³ uitrekenen:

$L^2 =\begin{pmatrix} 59&83&83\\83&59&83\\83&83&59\end{pmatrix}$

$L^3=\begin{pmatrix}1149&1029&1197\\1173&1125&1077\\1053&1221&1101\end{pmatrix}$

De matrix $L^2$ is symmetrisch en is een pseudo-tovervierkant ( de som van de elementen op elke rij en in elke kolom is dezelfde; de sommen van de diagonalen echter niet ).

De matrix $L^3$ is dan weer wel een tovervierkant, maar de symmetrie is verdwenen.

Absolute waarde

Geplaatst op 17 januari 2017 door admin

We geven eerst de definitie : $\forall a \in \mathbb{R}^+: |a| =a$ en $\forall a \in \mathbb{R}^-: |a| =-a$ . Uit deze definitie leid je onmiddellijk af dat $|a| =0 \Leftrightarrow a =0$ en $|a|=|-a|$ .

Andere eigenschappen:

$\forall a \in \mathbb{R}: -|a| \leq a \leq |a|$
$\forall a,b \in \mathbb{R}: |a.b|=|a|.|b|$
$\forall a,b \in \mathbb{R}:|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{|a|}{|b|}$
$\forall x \in \mathbb{R},\forall a \in \mathbb{R}^+:|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$
$\forall a,b \in \mathbb{R}:|a+b| \leq |a|+|b|$ (driehoeksongelijkheid)
$\forall a,b\in \mathbb{R}:|a|-|b| \leq |a+b|$
$\forall a,b\in \mathbb{R}:||a|-|b| |\leq |a-b|$

De grafiek van de functie $f(x)=|x|$ wordt gegeven door:

Rangeerproblemen

Geplaatst op 14 januari 2017 door admin

Een man beschikt over een klein roeibootje. Hij moet een wolf, een schaap en
een kool naar de andere oever overbrengen. In het bootje is maar plaats voor
de man en ofwel de wolf, ofwel het schaap, ofwel de kool. Hij mag echter de
wolf en het schaap nooit alleen laten (je kan wel raden wat er dan gebeurt)
en ook het schaap mag hij niet alleen met de kool achterlaten. Hoe legt hij
het aan boord?

Over de oplossing en aanverwante problemen kan je meer lezen in volgend artikel.

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Geen categorie