Wiskunde is leuk

Hoektransversalen in een driehoek

Geplaatst op 4 februari 2018 door admin

Neem een driehoek ABC. Een rechte l door een hoekpunt A van de driehoek heet hoektransversaal of ceviaan van A. We onderzoeken onder welke voorwaarden de hoektransversalen van A,B en C door één punt gaan.

Voor een willekeurig punt P op een hoektransversaal beschouwen we de verhouding van de afstanden tot de twee zijden.
Omdat $\dfrac{P_1R_1|}{|P_1Q_1|}=\dfrac{P_2R_2|}{|P_2Q_2|}$ , is deze verhouding constant. Noem deze constante $v_1$ Bij elke transversaal hoort een dergelijke constante. Bereken ze met de klok mee. Nu geldt: De 3 hoektransversalen zijn concurrent als en slechts als $v_1v_2v_3=1$ . Zo geldt bijvoorbeeld voor de binnenbissectrices van een driehoek dat $v_1=v_2=v_3=1$ , dus: de drie binnenbissectrices van een driehoek gaan door één punt.
Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan moet men aan de constanten $v_i$ enkel een ander teken geven. Hetr esultaat van hierboven blijft behouden.
We kunnen een hoektransversaal ook kenmerken door de verhouding $u_i$ van de oppervlaktedelen waarin de driehoek door de ceviaan verdeeld wordt.
$U_1=\dfrac{\text{opp} AA'C}{\text{opp} AA'B}=\dfrac{|A'C|}{|A'B|}$ . Het is eenvoudig te zien dat $u_1u_2u_3=v_1v_2v_3$ en dus geldt: De 3 hoektransversalen zijn concurrent als en slechts als $u_1u_2u_3=1$ . Onder deze vorm is de stelling ook gekend als de stelling van Ceva.
Nu geldt bijvoorbeeld voor de zwaartelijnen van een driehoek dat $u_1=u_2=u_3=1$ , dus: de drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt.
We kunnen dit ook ondzerzoeken voor de drie hooigtelijnen.
$u_1=\dfrac{b \cos \gamma}{c \cos \beta}$ , $u_2=\dfrac{c \cos \alpha}{a \cos \gamma}$ en $u_3=\dfrac{a \cos \beta}{b \cos \alpha}$ en dus is $u_1u_2u_3=1$ . Bijgevolg geldt: de drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.

Cirkellimiet van Escher

Geplaatst op 3 februari 2018 door admin

Maurits Cornelis Escher was een Nederlandse kunstenaar, die bekend is om zijn houtsneden, houtgravures en lithografieën, waarin hij vaak speelde met wiskundige principes. Geboeid door het begrip ‘oneindig’ maakte hij dit werk: de cirkel limiet. Door herhaling van eenzelfde patroon op een steeds krimpende schaal ontstaan zelfgelijkvormige figuren die een limiet karakter in zich dragen en dikwijls de vorm van een fractaal aannemen.

Escher schreef hierover: “Ik heb mij rot gewerkt om die litho af te maken en vervolgens de tanden op mekaar, vier dagen lang nog eens negen mooie afdrukken van die hoogst
bewerkelijke cirkellimiet-in-kleuren gemaakt. Elke druk bestaat uit een serie van
twintig maal afdrukken: vijf planken, elke plank vier keer. Dit alles met het eigenaardige gevoel dat dit werkstuk een ‘mijlpaal’ in mijn ontwikkeling betekent en dat er nooit iemand zal zijn, behalve ikzelf, die dat zal inzien.”

Perfecte vierkanten

Geplaatst op 21 januari 2018 door admin

Een perfect vierkant van orde n is een vierkant dat opgedeeld is in n verschillende vierkanten waarvan geen twee vierkanten even groot zijn.
Het eerste perfecte vierkant werd in 1939 gevonden door Roland Sprague. Dit perfecte vierkant had orde 55. In de jaren daarop vond men nog meer perfecte vierkanten, ook van kleinere orde.

In 1962 begon de Nederlandse informaticus Adrianus Duijvestijn een zoektocht naar het perfecte vierkant met de laagste orde. Het duurde nog tot 1978 voordat computers snel en krachtig genoeg waren om dit probleem op te
lossen.

Het perfecte vierkant met de laagste orde wordt opgebouwd met 21 kleinere vierkantjes en heeft een zijde van 112.

Opgave 10

Geplaatst op 20 januari 2018 door admin

Bereken de vierkantswortel van x met

$x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5$

Antwoord

$x=10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+2.10^{n+1}+\cdots+2.10+5$ .
De termen met een factor 2 splitsen we op en we schrijven 5 als 1+1+3.
We vinden dan
$x=(10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+10^{n+1}+\cdots+10+1)+(10^{n+1}+\cdots+10+1)+3$ .
Gebruiken we nu de partiële som formule voor de termen van een meetkundige rij: $x=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}+\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3$
We brengen op gelijke noemer: $x=\dfrac{10^{2n+2}+10.10^{n+1}+25}{9}=\Big(\dfrac{10^{n+1}+5}{3}\Big)^2$ .
Dan is $\sqrt{x}=\dfrac{10^{n+1}+5}{3}$ .
Hieruit volgt dat $\sqrt{x} =\dfrac{1 \overbrace{0\cdots0}^{n+1}+5}{3}=\dfrac{ \overbrace{9\cdots9}^{n}0+15}{3}$ .
Uiteindelijk vinden we dat de vierkantswortel van x gelijk is aan
$\overbrace{3\cdots3}^n5$

Even huisnummers

Geplaatst op 21 december 2017 door admin

Ik woon aan de kant van de even huisnummers in mijn straat. Als ik de huisnummers van de huizen links van mij optel en daarna die van rechts, dan zijn die twee sommen gelijk. Hoeveel huizen staan er aan de even kant in mijn straat en op welk nummer woon ik?

Veronderstel dat ik in het (k+1) ste huis woon, dan staan er k huizen links van mij, met nummers 2,4,6,…,2k. Dit zijn termen van een rekenkundige rij en dus kunnen we de som berekenen:

$S_l=\frac{1}{2}k.(2+2k)=k^2+k$

Als er n huizen staan in mijn straat, dan bevinden zich rechts van mij nog n-k-1 huizen, met nummer 2k+4,2k+6,…,2n. Ook hier hebben we een rekenkundige rij, dus :

$S_r=\dfrac{1}{2}(n-k-1)(2k+4+2n)=(n-k-1)(n+k+2)$

Nu moet $S_l=S_r$ . Dit geeft na uitwerking:

$2k^2+4k-(n^2+n-2)=0$

Dit is een Diophantische vergelijking. We zoeken naar gehele oplossingen . Bijgevolg moet $k=\dfrac{-4 \pm \sqrt{16+8(n^2+n-2)}}{4} \in \mathbb{Z}$ . Hieruit volgt:

$k=-1 \pm \sqrt{\frac{1}{2}(n^2+n)} \in \mathbb{Z}$

Daarom moet $n^2+n =2x^2$ met $x\in \mathbb{Z}$ . Dit valt te herschrijven als

$(2n+1)^2-8x^2=1$

Vergelijkingen van de vorm $x^2-Ay^2=1$ noemt men vergelijking van Pell. Dit type vergelijkingen is moeilijk op te lossen, maar we kunnen wel een aantal oplossingen ‘proberen’, omdat de straten bij ons niet zo lang zijn. Zo vinden we :

$\begin{array}{c|c|c} n&k+1&\text{huisnummer}\\ \hline \\ 1&1&2\\8&6&12\\49&35&70\\288&204&408 \end{array}$

De eerste oplossing is een beetje absurd: een straat met maar 1 huis. Bij de tweede oplossing telt de straat 8 huizen langs de even kant en woon ik in huisnummer 16. Links van mij heb je de nummers 2,4,6,8 en 10 met som 30 en rechts van mij de nummers 14 en 16, ook met som 30. De derde oplossing geeft een straat met 49 huizen en ik woon op nummer 70.