Categorie archieven: Geen categorie

Geschiedenis van de kansrekening: deel 5

Geplaatst op door

In de jaren 30 kwam de moderne wiskundige kansrekening tot stand door een axiomatische opbouw in het kader van de maattheorie van Emil Borel(1871-1956) en Henri Lebesgue (1875-1941).

 

Het was Kolmogorov die in 1933 kwam met zijn mathematisch model gebaseerd op het begrip kansruimte. Dit bracht toen een hele omwenteling te weeg. de kanstheorie werd ‘bevrijd’ en werd een volwaardig deel van de wiskunde.

Rond 1930 werden ook de grondslagen gelegd voor de theorie van de stochastische processen: wiskundige modellen voor processen die evolueren in de tijd volgens de wetten van de kansrekening. het best kende we de Brownse beweging ( willekeurige beweging van stofdeeltjes ). Belangrijke bijdragen kwamen van Kolmogorov, Khinchin,Feller en Lévy.

Cryptharithmetica

Geplaatst op door

Een cryptharitmetica is een wiskundige puzzel die als doel heeft de originele cijfers terug te vinden in een code. Verschillende letters staan voor verschillende cijfers. Een eenvoudig voorbeeld is : AT + A = TEE.

De T is een overdracht uit de kolom van de tientallen dus met T = 1. We krijgen dus A1 + A = 1EE. Bekijken we nu de kolom van de tientallen: omdat A niet gelijk is aan E, moet er een overdracht zijn uit de kolom van de eenheden, dus A + 1 = 10 +E. Hieruit volgt dat A = 9 en E = 0. De oplossing is dus 91 + 9 = 100.

Er bestaan veel van deze puzzels. Sommige bevatten , in de taal waarin ze geschreven zijn, een amusante uitspraak.  Een paar voorbeelden:

Of in het Nederlands ( naar de bekende Nederlands zwemster Ada Kok, wereldtop op de vlinderslag) : ADA / KOK = .SNELSNELSNEL…

Ontsnappingsspel: deel 2

Geplaatst op door

Veronderstel nu even dat Peter wel de constante c kent waarmee hij kan ontsnappen, maar dat hij de startpositie z_0  niet kent. Dit leidt ons naar de definitie van de Juliaverzamelingen, genoemd naar de wiskundige Gaston Julia ( 1893-1978): voor een gegeven complex getal c, zullen sommige beginpunten z_0 een divergerende rij z_{n+1}=z_n^2+c genereren, terwijl andere startpunten niet-divergerende rijen voortbrengen. De Julia verzameling is de grens die de divergerende startpunten scheidt van de niet-divergerende startpunten.

Neem bijvoorbeeld c=0. Punten die binnen de eenheidscirkel liggen worden aangetrokken door de oorsprong. Punten erbuiten zullen verder en verder van de oorsprong bewegen. de Julia verzameling voor c=0 is dus de eenheidscirkel.

Enkele mooie Juliaverzamelingen zijn:

 

 

 

We kunnen ons de vraag stellen wanneer deze Juliaverzamelingen een samenhangende figuur vormen. Het waren de wiskundigen John Hubbard en Adrien Douady ( zie foto ) die vonden dat dit gebeurde voor de c-waarden die tot de Mandelbrotverzameling behoorden.

 

Opgave 15

Geplaatst op door

Zoek het algemeen voorschrift van de rij a_{n+1}-2a_n=F_n met a_0=0, waarbij F_n de rij van Fibonacci is met F_0=0,F_1=1,F_2=1,...

Antwoord

  • Het rechterlid van de formule is niet nul, zodat we geen lineaire recurrente rij krijgen. Maar dat kunnen we verhelpen door ook te schrijven dat  a_{n+2}-2a_{n+1}=F_{n+1} en a_{n+3}-2a_{n+2}=F_{n+2}.
  • De laatste vergelijking verminderd met de vorige en de opgave geeft, gebruikmakend van de eigenschappen van de rij van Fibonacci, dat a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}+2a_n=0.
  • De karakteristieke vergelijking van deze lineaire recurrentie is x^3-3x^2+x+2=(x-2)(x^2-x-1). Volgens de theorie van de lineaire recurrente rijen is dan a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n. Hierbij is \alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} en \beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}. We weten, ook door gebruik te maken van de theorie van de lineaire recurrentie, dat F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}.
  • In a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n, bepalen we A,B en C door gebruik te maken van a_0=0,a_1=0 en a_2=1. We vinden A=1, B=-\dfrac{\alpha^2}{\alpha-\beta} en C=\dfrac{\beta^2}{\alpha-\beta}.
  • Bijgevolg is a_n=2^n-F_{n+2}.