Categorie archieven: Discrete wiskunde

Duivenhok principe

Geplaatst op door

Verdeel je meer dan n duiven over n hokken, dan bevat minstens één hok minstens 2 van die duiven. Over dit duivenhok principe hebben we het gehad op een andere pagina van deze website. Het is niet altijd even gemakkelijk om de juiste ‘hokken’ te kiezen om alzo het principe te kunnen toepassen. Volgende opgaven lijken op elkaar, maar toch is de keuze van de ‘hokken’ totaal anders.

Kies 51 getallen uit de verzameling {1,2,3,…,100}. Toon aan dat :

  • er in die 51 getallen  twee getallen bestaan die geen gemeenschappelijke priemdeler hebben.

  • er in die 51 getallen twee getallen  bestaan zodat de ene een deler is van de andere.

 

Voor de eerste vraag neem je 50 paar opeenvolgende koppels: (1,2),(3,4),…,(99,100). Vermits er 51 getallen gekozen worden, moet er daartussen dus zeker een paar (k,k+1) zitten. Als k en k+1 een zelfde priemdeler p zouden hebben zou p ook een deler zijn van (k+1)-k=1 en dat kan niet. Dus k en k+1 hebben geen gemeenschappelijke priemdeler.

Voor het tweede probleem neem je de 50 oneven getallen 1,3,5,…,99. Voor elk van die getallen vorm je een ‘hok’ met daarin het oneven getal en alle producten ervan met machten van 2. Zo bevat het eerste hok de elementen 1,2,4,8,16,32,64 en het tweede hok de elementen 3,6,12,24,48,96. Volgens het duivenhok principe moeten er tussen de 51 gekozen getallen er zeker twee zijn die in hetzelfde hok zitten. Die twee getallen zijn dan van de vorm 2^m.k en 2^n.k met k een oneven getal. Het is duidelijk dat het ene getal het andere deelt.

 

Vrienden of niet

Geplaatst op door

 

In elke groep van 6 personen zijn er altijd 3 die elkaar kennen of 3
die elkaar niet kennen.

Dit is niet noodzakelijk waar in een groep van 5
personen.

Het probleem is ook gekend met 6 punten waarbij alle verbindingslijnstukken ofwel in het rood ofwel in het blauw gekleurd worden. Bewijs dat minstens één  driehoek kan gevonden worden die drie gelijkgekleurde zijden heeft. We hebben hier te maken met een volledige graaf waarvan de zijden in twee mogelijke kleuren worden ingekleurd.

Wij gaan het probleem aanpakken in een iets moeilijker versie:

Gegeven 17 punten: A_1, A_2, A_3, . . . . , A_{17} die willekeurig in
het vlak  liggen. Men trekt tussen deze punten alle verbindingslijnstukken, hetzij rood, hetzij blauw, hetzij groen. Bewijs dat minstens één  driehoek kan gevonden worden die drie gelijkgekleurde zijden heeft.

 

 

  • Kies een willekeurig punt uit het zeventiental en beschouw de zestien verbindingslijnstukken die dat punt met de zestien andere punten verbindt.
  • Volgens het duivenhokprincipe is het steeds mogelijk uit die zestiental lijnstukken een zestal te vinden die dezelfde kleur hebben. Laten we aannemen dat de zes gekozen lijnstukken allemaal rood
    zijn.
  • De zes rode lijnstukken verbinden het eerstgekozen punt met een zestal andere punten. We richten nu onze aandacht op dat zestal en in het bijzonder op hun verbindingslijnstukken.
  • Vinden we bij die verbindingslijnstukken een rood exemplaar, dan vormt dit met de beide rode liinstukken  een rode driehoek en dan zijn we klaar.
  • Het ergste, wat ons overkomen kan, is  dat die zes punten alleen groene en blauwe verbindingslijnstukken hebben. Laten we dus aannemen, dat dit het geval is.
  • Kies uit het zestal punten nu een willekeurig punt uit en beschouw de vijf verbindingslijnstukken van dit punt met de vijf andere punten van het zestal.  Kies er drie uit die dezelfde kleur hebben .Dat dit mogelijk is volgt weerom uit het duivenhokprincipe.
  • Laten we aannemen, dat ze alle drie groen zijn. Tenslotte letten we op de verbindingslijnstukken van die drie andere punten. Deze
    zijn groen of blauw. Is er een van die verbindingslijnstukken groen, hebben we een groene driehoek gevonden. En er is geen groene bij, dan vormen ze zelf een blauwe driehoek.

 

We kunnen dit veralgemenen voor n kleuren . Noteer met a_n het aantal punten dat er nodig is om met n kleuren steeds een driehoek te vinden met gelijkgekleurde zijden. Dan geldt:

    \[a_n=n.a_{n-1}+2-n\]

 

 

Differentiequotiënten bij veeltermen en afgeleide formules

Geplaatst op door

Veronderstel dat P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0. Definieer het differentiequotiënt  van P(x), behorende bij toename h_1,  als:

    \[\Delta_{h_1}P(x)=\dfrac{P(x+h_1)-P(x)}{h_1}\]

\Delta_{h_1}P(x) is een veelterm van de n-1 ste graad , met a_n.n als coëfficiënt van de hoogtse macht van x.

We kunnen op zijn beurt ook het differentiequotiënt van \Delta_{h_1}P(x) berekenen, bij een toename h_2. We noteren \Delta_{h_2}(\Delta_{h_1}P(x)) als \Delta_{h_2h_1}P(x). Ook dit is een veelterm, nu van graad n-2 en met a_n.n(n-1) als coëfficiënt van de hoogste macht van x. Bij elke differentiequotiënt verlaagt de graad met 1. Als we n differentiequotiënten na elkaar uitvoeren, vinden we dus een constante, en die blijkt onafhankelijk te zijn van de n toenames h_i. We krijgen :

    \[\Delta_{h_n \cdots h_1}P(x)=a_n.n!\]

Kies h_1=h_2=\cdots=h_n=1 en schrijf \Delta^i in plaats van \Delta_{11\cdots1}, dan volgt:

\begin{array}{l} \Delta^1P(x)=P(x+1)-P(x)\\ \Delta^2P(x)=P(x+2)-2P(x+1)+P(x)\\ \Delta^3P(x)=P(x+3)-3P(x+2)+3P(x+1)-P(x)\end{array}

We besluiten hieruit:

    \[a_n.n!=\Delta^nP(x)= \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}P(x+n-k)\]

We kunnen bovenstaande formule nog vereenvoudigen door x+n in plaats van x als variabele te nemen. Dit mag omdat de substitutie x \leftrightarrow x+n in P(x) een veelterm geeft met dezelfde kopcoëfficiënt.

    \[a_n.n!= \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}P(x-k)\]

Als we k vervangen door n-k, dan wordt, volgens dezelfde opmerking als hierboven, deze formule:

    \[a_n.n!= \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}P(x+k)\]

Opmerkingen:

  • Neem P(x)=x^n, dan wordt bovenstaande formule: \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(x-k)^n=n!
  • We controleren voor n=2. Het linkerlid wordt x^2-2(x-1)^2+(x-2)^2=x^2-2(x^2-2x+1)+(x^2-4x+4)=2=2!
  • Omdat in vorig punt het rechterlid een constante is, kan je in het linkerlid x vervangen door om het even welke uitdrukking, bijvoorbeeld :\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(2^{n+1}-n-k-1)^n=n!

 

Formules met binomiaalgetallen

Geplaatst op door

Het binomiaalgetal \binom{n}{p} berekent het aantal p-combinaties van n elementen; dit is het aantal mogelijkheden om p elementen te nemen uit n beschikbare elementen. Hierbij is  herhaling niet toegestaan en speelt de volgorde van de elementen geen rol.

Als 0 \leq p \leq n, dan kennen we de formule

    \[\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}\]

Om verbanden tussen de binomiaalgetallen te bewijzen kunnen we gebruik maken van bovenstaande formule. Vaak geeft dit aanleiding tot technisch moeilijk rekenwerk. Vandaar dat we in volgende sectie een andere werkmethode willen geven, steunend op eenvoudige begrippen uit de verzamelingenleer. Lees hierover volgend artikel.