Categorie archieven: Discrete wiskunde

Marginale kosten

Geplaatst op door

De marginale kostprijs, dit is de kostprijs om de productie van n stuks per dag op te voeren met 1 eenheid, wordt gegeven door

    \[M(n)=10000-2n+0,004n^2\]

Bereken de meerkost,  genoteerd met M(n,m),  om de productie op te voeren van 400 naar 450 stuks.

Noteer met K(n) de totale kostprijs voor de productie van n stuks per dag. De marginale kostprijs op niveau n is dan

    \[M(n)=K(n+1)-K(n)\]

We weten dus dat K(n+1--K(n)= 10000-2n+0,004n^2. Dit is een recursievergelijking. Eigenlijk is dit de discrete tegenhanger van het begrip afgeleide. Het is dus niet onredelijk te veronderstellen dat K(n) een derdegraadsveelterm is. Noteer K(n)=a+bn+cn^2+dn^3. Invullen is de recursievergelijking geeft de oplossingen voor a,b,c en d. We vinden b = 10001,00067; c = -1,001 en c = 0,0013333.

Dan is M(400,450) = 493632.

Som 28

Geplaatst op door

Op hoeveel manieren N kan je 28  schrijven als som van verschillende natuurlijke getallen ( \neq 0)?

  • Noteer S_k(n) als het aantal mogelijkheden om n te schrijven als som van k verschillende natuurlijke getallen, verschillend van 0.
  • Het is niet zo  moeilijk om S_2(28) uit te rekenen: 1+27,2+26,…13+15. Dus S_2(28)=13.
  • Omdat 1+2+3+4+5+6+7=28 is S_7(28)=1. Bovendien zal voor k>7: S_k(28)=0.
  • Berekenen we eerst S_3(28). Stel dus dat x+y+z=28 en neem x<y<z. Als x>1, dan is x-1,y-1,z-1 een drietal met som 25, dus een mogelijkheid  uit S_3(25). Omgekeerd kan je ook met elke mogelijkheid van S_3(25), een mogelijkheid van S_3(28) laten corresponderen met elementen groter dan 1. 
  • Stel echter dat x=1, dan is  y-1,z-1 een tweetal met som  25 en dus een mogelijkheid uit S_2(25).
  • Uit vorige redeneringen  volgt S_3(28)=S_3(25)+S_2(25) of algemener:

        \[S_3(n)=S_3(n-3)+S_2(n-3)\]

  • Herhaaldelijk toepassen van die formule geeft: S_3(28)=S_2(25)+S_2(22)+S_2(19)+S_2(16)+S_2(13)+S_2(10)+S_2(7)+S_2(4).
  • Maar S_2(n)=\frac{n}{2}-1 als n even is en S_2(n)=\frac{n-1}{2} als n oneven is. Hieruit volgt dat S_3(28)=12+10+9+7+6+4+3+1=52.
  • Om S_4(28) te berekenen gebruiken we een analoge formule S_4(n)=S_3(n-4)+S_2(n-4). Idem voor S_5(28) en S_6(28).
  • Enkele berekingen staan in volgende tabel en zo vinden we

        \[N=13+52+84+57+14+1=221\]

 

Voetbal

Geplaatst op door

 

Op een voetbal komt een netwerk van bogen voor, die de oppervlakte van de bal verdelen in een aantal gebieden. Sommige van die gebieden worden door vijf bogen begrensd en zijn dus vijfhoekig van vorm; de rest van de gebieden is zeshoekig. Bij elk knooppunt van het netwerk komen drie gebieden samen; twee daarvan zijn zeshoekig en het derde is vijfhoekig. De vijfhoekige gebieden zijn zwart en de zeshoekige zijn wit. Elk vijfhoekig gebied omgeven wordt door een krans van vijf zeshoekige gebieden. 

Noemen we het aantal knooppunten V ( vertrices), E het aantal bogen (edges) en F het aantal gebieden (faces). Euler zegt dat

    \[V-E+F=2\]

  • Stel x het aantal vijfhoeken en y het aantal zeshoeken. Er zijn dus 5x , maar ook 6y knooppunten ( want in elk hoekpunt komen 2 zeshoeken samen). Bijgevolg is y=\frac{5}{3}x.
  • Alle vijfhoeken en zeshoeken hebben samen 5x + 6y = 5x + 10x= 15x zijden. Bij elke boog van het netwerken vallen twee zijden samen dus E=\frac{15}{2}x.
  • Het aantal gebieden wordt gegeven door F=x+y=\frac{8}{3}x .

De formule van Euler voor veelvlakken wordt nu : 5x-\frac{15}{2}x+ \frac{8}{3}x=2 of x=12

Onze voetbal is dus opgebouwd uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken, dus 32 zijvlakken; Verder zijn er 60 knooppunten en 90  bogen.

In de wiskunde noemt men deze figuur : de afgeknotte isocaëder.

 

 

 

Ster van David

Geplaatst op door

Iedereen kent wel de driehoek van Pascal met de binomiaalgetallen. In die driehoek kan je mooie verbanden zien: je vindt er de natuurlijke getallen in , de driehoeksgetallen….Gekend is zeker ook de stelling van Stiefel. Minder bekend is de stelling van de Davidster:

In de tekening hierboven zijn de rijen van de driehoek van Pascal als kolommen weergegeven. De  grootste gemene delers van de getallen op de hoekpunten van de gegeven driehoeken zijn gelijk: De grootste gemene deler van \binom{n-1}{k-1},\binom{n}{k+1},\binom{n+1}{k} is gelijk aan de grootste gemene deler van \binom{n-1}{k-},\binom{n}{k-1},\binom{n+1}{k+1} . Dit verband werd in 1972 ontdekt door de Amerikaanse wiskundige Henry Gould.

Bovendien geldt er dat het product van de getallen op de hoekpunten van de driehoeken gelijk is

Een voorbeeld:

 

Kwadraten in de driehoek van Pascal

Geplaatst op door

In de driehoek van Pascal kan je veel verbanden vinden. Vandaag gaan we op zoek naar kwadraten.

  • Kijk naar de derde kolom van de driehoeksgetallen 1,3,6,10,… en tel daar de elementen twee per twee op en je vindt de rij 4,9,16,25,… Hoe kan je dit verklaren?  De som van de elementen is altijd van de vorm

        \[\binom{n}{2}+\binom{n+1}{2}\]


    Uitrekenen geeft \frac{1}{2}n(n-1)+\frac{1}{2}n(n+1)=n^2.
  • Kijk naar de vierde kolom 1,4,10,20,35,56,…en bereken het verschil van de derde en de eerste, de vierde en de tweede enz. , dan vorm je de rij 9,16,25,… Verklaring?

        \[\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}\]

    Uitrekenen met de formule van Stiffel geeft: \Big(\binom{n+2}{3}-\binom{n+1}{3}\Big)+\Big(\binom{n+1}{3}-\binom{n}{3}\Big)=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}=n^2.