Nootje 51

Geplaatst op 25 oktober 2024 door admin

20 leerlingen van een zelfde klas versturen in december elk 10 wenskaarten naar 10 verschillende klasgenoten. Toon aan dat er minstens twee leerlingen zijn die een kaart naar elkaar sturen.

“Antwoord“

Kettingwortels

Geplaatst op 18 oktober 2024 door admin

Een uitdrukking zoals

$x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}$

wordt een oneindige kettingwortel genoemd.

Als we beide leden kwadrateren komt er:

$x^2=a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}$

of nóg $x^2=a+x$ . De positieve oplossing van deze vierkantsvergelijking is $x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4a})$ .

Stel hierin bijvoorbeeld $a=1$ , dan bekomen we:

$\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}$

In het bijzonder ontstaat er een natuurlijk getal indien $1+4a$ een volkomen kwadraat is. Een paar voorbeelden:

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}$

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}$

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+...}}}}$

Tangens berekenen

Geplaatst op 12 oktober 2024 door admin

Bereken de exacte waarde van $\tan 22^\circ 30^\prime$ .

Pas de verdubbelingsformule toe:
$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$
Gebruik het feit dat $\tan 45^\circ=1$ .
Dit leidt tot de vergelijking ( stel $a=22^\circ 30^\prime$ ): $\tan^2a+2\tan a-1=0$ .
Lossen we deze vierkantsvergelijking op , dan vinden we $\tan a = -1+\sqrt{2}$ of $\tan a=-1-\sqrt{2}$ .
Aangezien a een hoek is in het eerste kwadrant, moet zijn tangens positief zijn en vinden we dus dat
$\tan 22^\circ30^\prime =\sqrt{2}-1$

Julia fractaal

Geplaatst op 4 oktober 2024 door admin

Neem de functie $f(x)=x^2+c$ en neem een willekeurige startwaarde $x_1$ . Bereken de functiewaarde van $x_0$ en noem die $x_1$ . Bereken vervolgens de functiewaarde van $x_1$ en noem die $x_2$ . We verkrijgen zo een rij getallen

$x_{n+1}=f(x_n)$

Gaston Julia ( 1893-1978) publiceerde in 1919 zijn boek Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles waarin hij het iteratief gedrag van deze functie(s) onderzocht.

We bestuderen nu

de relatie $z_{n+1}=f(z_n)$ in het complexe vlak. Als de rij $z_0,z_1,z_2,...$ begrensd is, dan gaan we de startwaarde $z_0$ plotten. De verzameling punten in het complexe vlak waarvoor de rij begrensd is noemen we de Julia verzameling horend bij c.

Er zijn op basis hiervan twee verzamelingen te construeren: de verzameling van de punten z₀ waarvoor het iteratieve proces begrensd is (de Julia-set bij C) en de verzameling van de punten z₀ waarvoor de verzameling niet-begrensd is. De rand van het “begrensdheidsgebied” wordt een “fractaal” genoemd, de Julia-fractaal bij c.

Dit levert zeer mooie figuren :