Auteur archieven: admin

Nootje 48

Geplaatst op door

Bepaal alle drietallen natuurlijke getallen a,b,c waarvoor a.b.c=1989 en a+b+c=89

Antwoord

  • De oplossing is symmetrisch in a,b en c.
  • Redeneren we eventjes op c, dan moet c moet een deler zijn van 1989=3^2.13.17.
  • De delers van 1989 zijn: 1,3,9,13,17,39,51,117,153,221,663,1989.
  • Bij een keuze van c moeten we nog het stelsel oplossen:

        \[\begin{cases}a+b=89-c \\ a.b=\frac{1989}{c}\end{cases}\]

  • Noteer S=a+b en P=a.b, dan zijn a en b oplossingen van de vergelijking

        \[x^2-Sx+P=0\]

  • S=89+c; Omdat c oneven is , zal S dus even zijn en moet de discriminant S^2-4P een kwadraat zijn van een even getal ( anders zijn a en b geen natuurlijke getallen).
  • Voor c=1 is S=90 en P=1989. In dat geval is de discriminant gelijk aan 144 en vinden we dat a=39 en b=51.
  • Voor c=1 krijgen we dus als oplossingen de drietallen (39,51,1) en (51,39,1). 
  • Door de symmetrie zijn de andere oplossingen dan (1,39,51),(1,51,39),(39,1,51),(51,1,39).

Spiraal van Ulam

Geplaatst op door

Je kan volgend rooster van natuurlijke getallen maken in de vorm van een spiraal:

De wiskundige Stanislaw Ulam kreeg in 1963 het idee om e priemgetallen hierbij aan te duiden 

Hij zag, tot zijn verbazing, dat de priemgetallen de neiging hebben om zich op diagonalen van de spiraal te bevinden. De diagonalen zijn ook zichtbaar wanneer er heel veel getallen in een spiraal worden geplaatst. Het opvallende is, dat priemgetallen zich meer op bepaalde diagonalen bevinden dan op andere. De reden hiervoor is alsnog onduidelijk.

Een regendruppel…

Geplaatst op door

Een regendruppel met massa m valt onder invloed van de zwaartekracht en ondervindt een wrijving die recht evenredig mag genomen worden met de snelheid v. Bereken de snelheid in functie van t.

  • Volgens de wetten van Newton is de kracht waaraan de regendruppel onderhevig is: F=m.a , waarbij a de versnelling is van de druppel.
  • Deze kracht F is de resultante van de zwaartekracht F_1=m.g en de wrijving F_2=-k.v, waarbij k een evenredigheidsfactor is.
  • Dus

        \[m.a=m.g-kv\]

  • Nu weten we dat a=v'. Bijgevolg is m.v'=m.g-k.v.
  • We kunnen dit herschrijven als \frac{dv}{m.g-kv}=\frac{dt}{m}.
  • Als we beide kanten integreren krijgen we : -\frac{1}{k}\ln (m.g-k.v)=\frac{t}{m}+c, waarbij c de integratieconstante voorstelt.
  • Uitwerken geeft: m.g-k.v=A.e^{-\frac{kt}{m}.
  • Als t=0, veronderstellen we dat v=0. Hieruit vinden we dat A=m.g.
  • Vullen we dit in en lossen we op naar v, dan vinden we uiteindelijk

        \[v=\frac{m.g}{k}\Big( 1-e^{-\frac{kt}{m}\Big)\]

  • We zien dat na zekere tijd de regendruppel mat praktisch constante snelheid zal vallen.

Zelf beschrijvende getallen

Geplaatst op door

Een zelf beschrijvend getal is een natuurlijk getal waarvan het eerste cijfer weergeeft hoeveel nullen er in het getal zijn. Het tweede cijfer geeft aan hoeveel enen er aanwezig zijn; Het derde cijfer telt het aantal tweeën enzoverder. Zo is 2020 een zelf beschrijvend getal , want er zijn 2 nullen, geen 1, twee tweeën en geen 3.

Enkele eigenschappen: 

  • Er is minstens één 0 in een zelf beschrijvend getal. Het begincijfer van een getal is immers steeds verschillend van 0.
  • In ons talstelsel is het grootst mogelijk zelf beschrijvend getal, een getal van 10 cijfers.
  • Het kleinste zelf beschrijvend getal is 1210.
  • Het grootste is 6210001000.
  • Bij zelf beschrijvende getallen met maximale lengte ( 10 dus), is de som van de cijfers altijd 10. Logisch want die cijfersom geeft weer hoeveel cijfers er in het getal zijn.