Auteur archieven: admin

Nootje 23

Geplaatst op door

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door

    \[|x|+|y|+|x+y|\leq 1\]

Antwoord

 

 

  • In het eerste kwadraat is x>0 en y>0 en dus ook x+y>0. De gegeven ongelijkheid wordt dan x+y\leq \frac{1}{2}.
  • In het derde kwadrant is x<0 en y<0 en dus ook x+y<0. De ongelijkheid wordt dan x+y\geq -\frac{1}{2}.
  • In het tweede kwadrant is x<0 en y>0. Als x+y>0 wordt de ongelijkheid  y\leq \frac{1}{2}. Is echter x+y<0, dan verkrijgen we x\geq -\frac{1}{2}
  • In het vierde kwadrant tenslotte is x>0 en y<0. Als x+y>0, dan is de ongelijkheid x\leq \frac{1}{2}. Is daarentegen x+y<0, dan krijgen we y\geq - \frac{1}{2}
  • Het stelsel van al die ongelijkheden geeft volgend gebied in het vlak:
  • In deze figuur herkennen we gemakkelijk drie vierkanten met zijde 1. De oppervlakte is dus 3 oppervlakte eenheden

 

Ada Lovelace

Geplaatst op door

 

In 1815 werd Augusta, kortweg Ada, geboren als dochter van de bekende Engelse dichter Lord Byron en barones Milbanke. Ada’s moeder zou haar opvoeden tot wiskundige en onderzoeker. De reden hiervoor was dat ze bang was dat Ada anders net als haar vader zou eindigen als dichter.

Via de Schotse Mary Sommerville, een schrijfster van wetenschappelijke boeken, kwam Ada op haar 17de in contact met Charles Babbage( 1791-1871). Omdat deze laatste zich ergerde aan de fouten in vele astronomietabellen, bedacht hij zijn Difference Engine, een door stoom aangedreven mechanische machine die deze berekeningen automatisch kon uitvoeren. De machine steunde op de methode van eindige verschillen ontwikkeld door de wiskundige Gaspard de Prony (1755-1839), waardoor ze niet moest kunnen vermenigvuldigen of delen, wat mechanisch moeilijk uit te voeren was.

Ada, inmiddels getrouwd met Lord William King, graaf van Lovelace, begreep onmiddellijk het potentieel van de programmeerbare machine, eigenlijk de voorloper van onze huidige computers.

Lovelace  kon niet zo maar onder haar eigen naam een artikel publiceren. Daarom vertaalde ze een samenvatting van het artikel Notions sur la Machine Analytique ( van Luigi Menabrea) uit het Frans naar het Engels. Babbage stelde voor dat zij dit met haar eigen aantekeningen zou uitbreiden tot een artikel – wat de oorspronkelijke tekst drie keer zo lang maakte. Dit artikel werd gepubliceerd in 1843; In een appendix stond uitgeschreven hoe de machine een recursieve wiskundige berekening kon uitvoeren om de rij van Bernouilli-getallen te berekenen. Babbage had die nodig om zijn astronomische functies beter te benaderen. Dit uitgeschreven plan wordt nu beschouwd als het eerste computerprogramma.

Ada Lovelace overleed op 36-jarige leeftijd aan bloedingen ten gevolge van een behandeling tegen baarmoederkanker. 

De programmeertaal Ada, in 1979 ontwikkeld in opdracht van het Amerikaanse Ministerie van Defensie, is naar haar vernoemd.

 

Stelling van Zeckendorf

Geplaatst op door

De stelling van Zeckendorf  is vernoemd naar de Belgische dokter, legerofficier en wiskundige Edouard Zeckendorf.

De stelling zegt dat elk positief geheel getal op een unieke manier kan geschreven worden als de som van één of meer verschillende  getallen uit de rij van Fibonacci die elkaar niet opvolgen. Een dergelijke som wordt de Zeckendorfrepresentatie van een getal genoemd. De Zeckendorfrepresentatie van het getal 100 is 89+8+3.

Start met het grootste getal a_1 uit de rij van Fibonacci dat kleiner is of gelijk aan het getal n. Zoek daarna het grootste getal a_2 uit de rij van Fibonacci dat kleiner is of gelijk aan het verschil  n-a_1. Blijf dit proces herhalen totdat het verschil uiteindelijk zelf een getal is uit de rij van Fibonacci. Nu zijn a_1 en a_2 geen opeenvolgende termen van de rij van Fibonacci, want waren ze dat wel dan zou a_1+a_2 een term van de rij van Fibonacci zijn en groter zijn dan n. Dit is onmogelijk want a_1+a_2<n.

We geven ook een Python programma mee om de Zeckendorf representatie te berekenen. In het voorbeeld berekenen we deze van 2021:

Opgave 31

Geplaatst op door

Het getal (5^2+9^2)(12^2+17^2) kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.

Antwoord

  • We zouden de vraag algemener kunnen stellen: schrijf (a^2+b^2)(c^2+d^2) als som van twee kwadraten.
  • Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit product gelijk is aan (ac+bd)^2+(ad-bc)^2 of (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
  • Zo vinden we dat (5^2+9^2)(12^2+17^2)=93^3+193^3=213^2+23^2.
  • Je kan de oplossing ook vinden door gebruik te maken van complexe getallen.
  • Zo is 5^2+9^2 het kwadraat van de modulus van 5+9i.
  • Omdat de modulus van een product gelijk is aan het product van de moduli is (5^2+9^2)(12^2+17^2) het kwadraat van de modulus van o.a. (5+9i)(12+17i)=-93+193i. Zo bekom je hetzelfde resultaat.