Auteur archieven: admin

Een getal raden

Geplaatst op door

Je mag  een getal kiezen  uit de verzameling {0,1,2,…,15}. Hoe kan ik met een minimum aantal ja/neen vragen dit getal raden?

Antwoord

 

 

  • Een eerste mogelijk is te werken via de binaire schrijfwijze van het getal. Elk getal uit de gegeven verzameling heeft een unieke schrijfwijze met 4 nullen of enen in het tweetallig stelsel. Je n-de vraag is dan : is het n-de cijfer een 0 of een 1 (met n=1,2,3 of 4).
  • Met minder vragen lukt het niet want met 3 vragen kan je slechts 8 verschillende ja/neen antwoorden krijgen.
  • Een tweede mogelijkheid is werken met intervallen. Je vraagt eerst of het getal kleiner is dan 8. Is het antwoord ja dan deel je het interval terug is twee en vraagt of het getal kleiner is dan 4. was het antwoord op de eerste vraag neen, dan vraag je of het getal kleiner is dan 12. na vier vragen ( telkens het interval halveren) kom je bij een unieke oplossing.

 

Vierkantswortels

Geplaatst op door

Vierkantswortels zijn al eeuwenlang bekend. De Rhindpapyrus verwijst al in 1650 v.Chr. naar vierkantswortels, maar dat is niet zo vreemd, want wortels houden verband met oppervlaktes en diagonalen van vierkanten en rechthoeken.

\sqrt{2} was nogal wat voor de Pythagoreeëers. De ontdekking dat de wortel van 2 irrationaal was, zat hen echt dwars. De idee dat een getal niet kon worden uitgedrukt als een breuk was ondenkbaar. Het was Hippasus van Metaponte die dit bewijs leverde en het verhaal gaat dat hij zijn ontdekking op zee deed, waarna hij overboord werd gegooid!Archimedes maakte een zeer nauwkeurige schatting van de wortel uit 3 :

    \[\frac{265}{153}<\sqrt{3}<\frac{1351}{780}\]

of uitgedrukt in decimalen: 1,7320261<\sqrt{3}<1,7320512.  Let op dat dit tweede getal slechts 0,0000004 afwijkt , wat erg nauwkeurig is gezien Archimedes geen rekentoestel had en niet werkte in het tientallig stelsel. Sommige bronnen beweren dat hij de Babylonische methode volgde.

Deze methode, ook Herons methode genoemd, is een fraaie iteratieve formule. Bij \sqrt{S} , nemen we eerst een ruwe schatting en noemen die x_0. Verder geldt:

    \[x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{S}{x_n}\Big)\]

Op het rekentoestel vinden we voor de wortel uit 3 de waarde 1,732050808. Als eerste schatting nemen we x_0=2. dan is x_1=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=1,75. We hebben al twee cijfers juist. Een betere benadering is x_2=\frac{1}{2}(1,75+\frac{3}{1,75})=1,7321. Nu hebben we de eerste 4 cijfers van \sqrt{3} en als we willen, kunnen we hiermee doorgaan om steeds een nauwkeurigere schatting te krijgen van de wortel uit 3.

Python probleem 3

Geplaatst op door

Bepaal de grootste priemfactor van 600851475143.

Antwoord

 

 

  • We gaan een functie definiëren die de grootste priemfactor berekent van een willekeurig getal n. We importeren math om te werken met een vierkantswortel.
  • We gaan eerst kijken of n een macht van 2 is. We delen alle factoren 2 weg. Ofwel komen we 1 uit en dan is de hoogste priemfactor 2, ofwel komen we een getal uit groter dan 2. 
  • In de volgende lus herhalen we deze procedure voor alle getallen groter dan 3, met stapjes van 2 ( want de factoren 2 zijn al weg), tot aan wortel(n).
  • Nu is het enkel nog kwestie van afdrukken.

 

Is dat een kwadraat?

Geplaatst op door

Hoe kan je bij grote getallen zien of een getal al dan niet een kwadraat is?  We geven twee gemakkelijke methoden om te kunnen constateren, dat een getal geen kwadraat is.

  • We kijken naar het laatste getal: alleen als dat een O, 1, 4, 5, 6 of 9 is kan het getal een kwadraat zijn. dus kunnen we gemakkelijk concluderen dat 475623872 geen kwadraat is. 
  • Berekenen we bij de eerste kwadraten eens de som der cijfers modulo 9. We noemen dit de testwaarde van het getal.
    Dan zie je dat de cijfers 1,0,4,7  steeds terugkeren. Omdat (9x+y)^2=81x^2+18xy+y^2 weten we dat de getallen 9x+y dezelfde testwaarde hebben dat y^2. Dus moeten we enkel rekening houden met de eerste rij op de tabel hierboven. Als de testwaarde niet 0,1,4 of 7 is dan kan het getal nooit een kwadraat zijn. Het getal 89254869 zou volgens de eerste methode een kwadraat kunnen zijn, maar de testwaarde is 6 en dus weten we volgens de tweede methode dat het zeker geen kwadraat is.
  • Beide methoden laten ons in de steek bij de getallen 147456 en 174456. De twee methoden zijn dus niet sluitend, maar je kan in ieder geval al veel getallen, op een snelle manier, uitsluiten.

 

 

Nootje 24

Geplaatst op door

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord

 

 

  • Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig.
  • We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0).
  • Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6).
  • Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9).
  • Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6).
  • De driehoek ZOI heeft als basis |ZI|=2 en als hoogte h=9-6=3. De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.