Auteur archieven: admin

Stelling van Stewart

Geplaatst op door

Onlangs vond ik op Facebook volgende opgave:

Matthew Stewart (1717-1785), een Schots wiskundige, publiceerde in 1746 een stelling waarmee je dit eenvoudig kan oplossen. De stelling berekent de lengte van een hoektransversaal  d=|CM| in een driehoek:

    \[cd^2=xa^2+yb^2-cxy\]

Het bewijs ervan is eerder eenvoudig: gebruik 2 keer de cosinus regel om resp a^2 en b^2 te berekenen.

Voor die hoektransversaal kan men speciale ‘lijnen’ in de driehoek kiezen:

  • Als d de zwaartelijn is uit C, dan herleidt de formule zich tot

        \[d^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2-\frac{1}{2}c^2)\]

    De gegeven opgave van Facebook heeft dan als oplossing x=1.
  • Als d de bissectrice is uit C, dan krijgen we

        \[d^2=ab-xy\]

    Het bewijs steunt op de bissectrice stelling x:y=b:a

 

Dit pareltje uit de vlakke meetkunde  wordt ook wel de stelling van Apollonius genoemd. Maar Apollonius van Perga formuleerde de stelling enkel voor x=y, dus het geval dat de hoektransversaal de zwaartelijn is.

 

Een telprobleem

Geplaatst op door

Op hoeveel manieren kan je een rijtje van 10 symbolen 0,1 of 2 maken zodat er nooit twee enen of twee twee na elkaar voorkomen?

Goed is dus 1200121001 en fout is 0012011202 omdat hier twee enen na elkaar voorkomen. 

Vorm de matrix

    \[A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\]

Nummer de rijen en de kolommen met 0,1en 2

a_{00}=1 betekent: er is een mogelijkheid om na een 0 een tweede nul te plaatsen.
a_{11}=0 betekent : na een 1 kan er geen 1 komen.
a_{12}=1 betekent: na een 1 kan er een 2 komen.

Het is duidelijk dat de som van de elementen van deze matrix A het aantal goede tweetallen is: 00,01,02,10,12,20,21 . Er zijn 7 goede tweetallen.

Net zoals bij een directe wegenmatrix (soort overgangsmatrix) zal de som van de elementen van A^9 dan het aantal goede tientallen geven:

    \[A^9=\begin{pmatrix} 1393&985&985\\985&696&697\\985&697&696\end{pmatrix}\]

Het antwoord op de gestelde vraag is dan 8119.

Sangaku 7

Geplaatst op door

Antwoord

  • De opdracht is de oppervlakte van de groene driehoek te zoeken.
  • Verdeel het onderste zijde van het vierkant in 2 stukken, van links naar rechts: x en 8 – x
  • Door 2 maal gebruik te maken van de eigenschap dat de raaklijn stukken getrokken vanuit een punt buiten de cirkel aan die cirkel even lang zijn, weten we dat de schuine zijde van de groene driehoek gelijk is aan x + 8.
  • De groene driehoek is rechthoekig en dus kunnen we Pythagoras toepassen :

        \[(x+8)^2=8^2+(x-8)^2\]

  • Hieruit volgt dat x = 2.
  • De oppervlakte van de groene driehoek is dan 24 oppervlakte eenheden.