Auteur archieven: admin

Construeerbare getallen

Geplaatst op door

 

In deze tekst onderzoeken welke we getallen er construeerbaar zijn met de klassieke constructieapparaten, passer en liniaal. Verder bestuderen we ook de structuur van de verzameling van alle construeerbare getallen. We komen zo tot een modern algebraïsch bewijs van de onmogelijkheid om met passer en liniaal een kubus te verdubbelen. Dit is een welbekend probleem uit de oude Griekse meetkunde. Zo zien we dat algebra en meetkunde enerzijds en oude en moderne wiskunde anderzijds erg nauw samenlopen. 

Python: de zeef van Eratosthenes

Geplaatst op door

De zeef van Eratosthenes  (Bibliothecaris van de bibliotheek van Alexandrië rond 240 v.C.) is een algoritme om priemgetallen te bepalen kleiner dan een gegeven getal n:

  • Maak een geordende lijst van alle getallen van 2 tot n.
  • Neem het kleinste getal in deze lijst en schrap alle veelvouden van dit getal ( het getal zelf niet!).
  • Neem het volgende getal in de lijst en doe hiervoor hetzelfde.

Een programma in Python geeft bijvoorbeeld alle priemgetallen kleiner dan 50

:

Uitleg: 

  • Neem een lijst van lengte n en zet op elke plaats de boolse waarde True.
  • Begin met p=2 en zet alle veelvouden van 2 in de lijst op False. Begin met het eerste veelvoud van 2 na 2 zelf: dat is 2*2.
  • Neem dan p=3 en zet alle veelvouden van 3 op False, beginnend met 3*3 
    (want alle vroegere veelvouden zijn sowieso al op False gezet.
  • Doe zo verder zolang p*p kleiner is dan de gegeven waarde n.

Nootje 28

Geplaatst op door

Toon aan dat de som van de breuken \frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac} gelijk  is aan hun product.

Spoiler
  • Noem die breuken A,B en C. Je zou A+B+C en A.B.C kunnen uitrekenen maar dat ziet er niet leuk uit…
  • De vorm van de breuk doet me echter denken aan de formule van de tangens van een verschil:
  • Vermits a,b en c reële getallen zijn bestaan er getallen \alpha,\beta ,\gamma met -\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2} zodat a=\tan \alpha,b=\tan \beta en c=\tan \gamma.
  • We moeten dan bewijzen dat \tan(\alpha-\beta)+\tan(\beta-\gamma)+\tan(\gamma-\alpha)=\tan(\alpha-\beta)*\tan(\beta-\gamma)*\tan(\gamma-\alpha).
  • Of als x+y+z=0, dat \tan x+\tan y+\tan z=\tan x*\tan y*\tan z.
  • Dit is vrij simpel: begin met het linkerlid en vervang z door -(x+y).

 

 

 

 

 

 

Zwarte farao’s

Geplaatst op door

Het moderne Nubië is een gebied in het zuiden van Egypte en in het noorden van Soedan. In de oudheid waren er verschillende koninkrijken.  Zwarte farao’s zijn geen verzinsel. ze stammen uit een sterke Afrikaanse cultuur in een land dat de Egyptenaren Koesj noemen. Koesj ligt langs de zuidelijke oevers van de Nijl en is al ten tijde van de eerste Egyptische dynastie (rond 3000 v.C. ) al behoorlijk welvarend.

De Egyptenaren waren niet erg gerust met die machtige zuiderburen en omdat er daar ook veel goud te vinden was, trokken de farao’s van de 18de dynastie (1538-1292 v.C.) Koesj binnen en bouwden er forten langs de Nijl. De onderworpen Nubiërs namen de cultuur en de gebruiken van de Egyptenaren over. Tijdens de derde onstabiele tussenperiode in Egypte  begonnen de Koesjieten zich los te maken van de Egyptische farao’s en vestigden de autonome staat Koesj, met de steden Napata en Meroë als belangrijkste machtscentra.

De Koesjitische farao Kashta (ca. 760-747 v.Chr.), letterlijk “de Koesjiet”, stichtte de 25e dynastie van Egypte door het door onderlinge twisten tussen verschillende koningshuizen verzwakte Egypte te veroveren en te herenigen. Egypte en het Koesjitische rijk waren hierna ongeveer een eeuw lang verenigd. De zogenaamde “zwarte farao’s” van de 25e dynastie bleven op de troon van Egypte tot de dood van farao Tantamani in ca. 653 v.Chr. 

In de 7de eeuw v.C. vallen de Assyriërs Egypte binnen en trekken de Nubiërs zich definitief terug naar hun vaderland. Ze blijven hun koningen voorzien van piramides.

De eerst Nubische piramides werden rond 1000 v.C. gebouwd? Ze zijn kleiner van vorm als de Egyptische, maar ook hun grafkamers waren vol schatten. Ze waren tussen de 6 meter en de 30 meter hoog en zelden breder dan 8 meter. Ter vergelijking: de hoogste Egyptische piramide meet 230 bij 146 meter.

 

Brahmagupta

Geplaatst op door

Brahmagupta werd geboren in 598 n.C. in de stad Bhinmal in het noordwesten van India. Hij werd benoemd tot hoofd van het observatorium in Ujjain, een stad ten oosten van Bhinmal en een centrum voor astronomie en wiskunde. Hij schreef er verschillende teksten, waaronder de Brahmasphuta-siddhanta. Hij overleed in 670.

In 628, op 30-jarige leeftijd schreef hij de Brahmasphuta-siddhanta, een tekst die veel invloed had op de westerse wiskunde. Het belangrijkste deel ervan gaat over nul en negatieve getallen.

De wetten van Brahmagupta:

  1. nul opgeteld bij een getal is het getal
  2. nul afgetrokken van een getal is het getal.
  3. een getal keer nul is nul.
  4. een negatief getal min nul is een negatief getal. 
  5. een positief getal min nul is een positief getal.
  6. nul min nul is nul.
  7. nul min een negatief getal is een positief getal.
  8. nul min een positief getal is een negatief getal.
  9. nul maal een negatief of positief getal is nul.
  10. nul maal nul is nul.
  11. het product of quotiënt van twee positieve getallen is een positief getal.
  12. het product of quotiënt van twee negatieve getallen is een positief getal.
  13. het product of quotiënt van een positief en een negatief getal is een negatief getal.
  14. het product of quotiënt van een negatief en een positief getal is een negatief getal

Het belang van deze wetten is dat ze ‘nul’ zien als een getal, niet alleen als een positiecijfer, en dat ze negatieve getallen zien als getallen in plaats van numerieke paria’s. Brahmagupta ondervond wel wat moeilijkheden bij het delen door nul.