Auteur archieven: admin

Cycladische beschaving

Geplaatst op door

Tussen 3000 en 2000 v.C ontstond op de Cycladen een pre-Griekse beschaving. Deze eilandengroep in de Egeïsche zee, met als grootste eilanden Paros,Delos,Minos en Santorini dankt zijn naam aan de rangschikking in een cirkel.

De eilandengroep ligt op een strategische plaats tussen Europa en Azië. Al zeer vroeg kozen de eilandbewoners het ruime sop en konden zo vreemde cultuurinvloeden overnemen.

De Cycladische maatschappij was welvarend. De bewoners waren zeelui die handel dreven in het oostelijke Middellandse Zeegebied. Maar het waren niet alleen vissers en handelslui, maar ook boeren, veehouders en jagers. Ze werkten op het platteland, ze hadden eigen wijn, olijfolie, groenten, ze cultiveerden hun grond en brachten hun leven vredelievend door. De inwoners van de Cycladen waren artistiek, het bewijs hiervan zijn de vele vazen, juwelen en andere voorwerpen die uit die periode teruggevonden zijn

De belangrijkste werken waren echter kleine in wit marmer, modern ogende beeldjes  (idolen), zonder gelaat en alleen een neus. De beeldjes zijn herleid tot de geometrische grondvormen. Opvallend was dat de beeldjes meestal vrouwen,nimfen of Godinnen voorstelden. De mannelijke beelden waren vooral beelden van jagers, van mannen die dansten of van mannen die een muziekinstrument bespeelden. Veel van de voorwerpen die ze maakten, verkochten ze op Kreta, daar woonden de Minoërs. Doordat ze in aanraking kwamen met de Minoïsche beschaving, brachten ze de kunst uit Kreta ook naar de Cycladen. 

Er kwam een einde aan hun beschaving toen de Minoërs (Kreta) binnen vielen en toen rond 1600 v.C. een vulkaanuitbarsting een groot deel van Santorini vernielde

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

Een probleem uit getallenleer

Geplaatst op door

Een natuurlijk getal bestaat uit 9 verschillende cijfers 1 tot en met 9. Schrijft men het opnieuw met telkens de eerste k cijfers, dan is het getal een veelvoud van k. Om welk getal gaat het?

 

  • Het getal gevormd door de eerste 2 cijfers is dus deelbaar door 2, gevormd door de eerste 3 cijfers door 3,…Het getal zelf is dus deelbaar door 9.
  • Dat laatste is altijd voldaan omdat de som der cijfers gelijk is aan 45 en dat is deelbaar door 9. Bijgevolg is het getal zelf ook deelbaar door 9. 
  • We moeten dus enkel controleren voor de eerste 2 tot de eerste 8 cijfers.
  • Het volgende programma in Python geeft de oplossing:

Het getal van Champernowne

Geplaatst op door

Een 0, gevolgd door een komma en alle natuurlijke getallen op rij, noemt men het getal van Champernowne (Engels wiskundige 1912-2000).

  • Het is een irrationaal getal, want het kan niet geschreven worden als een quotiënt van twee gehele getallen.
  • Sommige irrationale getallen zijn transcendent ( zoals \pi en e): ze zijn geen oplossing van een veeltermvergelijking met gehele coëfficiënten. Het getal van Champernowne is transcendent.
  • Sommige transcendente getallen zijn normaal. Elke eindige reeks van cijfers komt bij benadering even vaak voor als alle andere cijferreeksen van dezelfde lengte. David Champernowne heeft laten zien dat zijn getal normaal is  door aan te tonen dat niet alleen de cijfers 0 tot en met 9 even vaak voorkomen, maar ook alle combinaties van twee cijfers en alle combinaties van drie cijfers.

Het getal van Champernowne is een van de eerste geconstrueerde normale getallen. Hij bedacht het in 1933 en in 1937 bewees de Duitse wiskundige Kurt Mahler dat het transcendent was.

 

Een alien

Geplaatst op door

 

Op het bord staat de vergelijking

    \[x^3-19x^2+103x-247=0\]

Een alien komt binnen en roept: een drievoudige wortel! Net als wij heeft het buitenaards wezen 2 handen die onderling symmetrisch zijn. maar hoeveel vingers heeft hij (zij of het) aan elke hand?

antwoord

  • Als er een drievoudige wortel is dan is de vergelijking te schrijven onder de vorm (x-k)^3=0 of

        \[x^3-3kx^2+3k^2x-k^3=0\]

  • Nu is 247 geen derdemacht in ons tientallig stelsel, dus het gaat zeker al over een ander talstelsel. Noteer met b de basis van dat talstelsel.
  • De basis b moet even zijn, want onze alien heeft twee handen die symmetrisch zijn.
  • Verder moet b zeker groter zijn dan 10 want hij ziet het cijfer 9 staan.
  • Dus moet 3k=(19)_b of 3k=b+9. Hieruit volgt dat f=\frac{b+9}{3}.
  • Ook moet 3k^2=(103)_b of 3k^2=b^2+3. Als we hierin k vervangen door \frac{b+9}{3} vinden we 2b^2-18b-72=0. Bijgevolg is k=12 of k=-3. Dit laatste kan uiteraard niet.
  • Controleer nog of k ^3=(247)_b met b=12. Dit klopt.
  • Het buitenaards wezen heeft 6 vingers aan elke hand.