Auteur archieven: admin

Axioma’s

Geplaatst op door

Axioma’s worden op een intuïtieve manier aangebracht als een soort van spelregels. Zonder besef van een deductief systeem heeft bewijsvoering immers geen zin.

We kunnen ook de keuze van een axiomasysteem proberen toe te lichten. We mogen zo een axiomasysteem niet koesteren als een goddelijke waarheid. Anderzijds moeten we ook beseffen dat we geen totale vrijheid hebben in het combineren van axioma’s. Het systeem moet consistent zijn, dus geen tegenspraak bevatten. dat is echter moeilijk na te gaan omdat axioma’s uitspraken zijn over primitieve begrippen. Om de consistentie aan te tonen gaat men gebruik maken van een model: een concrete interpretatie van de ongedefinieerde concepten. We geven een klein voorbeeld:

  • Ax1: Elke x bevat minstens één y.
  • Ax2: Er zijn minstens 2 y’s.
  • Ax3: Als p en q twee y’s zijn, dan is er juist 1 x die zowel p als q bevat.
  • Ax4: Als a een x is, dan is er een y niet in a.

Een mogelijk model is dan : x = rechte en y = punt

Van een axiomasysteem verlangen we nog een andere eigenschap: de onafhankelijkheid. Dit wil zeggen dat geen van de axioma’s kan worden afgeleid uit de andere. Om dat na te gaan moeten we dus modellen construeren die aan alle axioma’s, behalve die ene, voldoen.

 

De wielparadox

Geplaatst op door

Stelt u zich een klein wiel op een groot wiel voor, voorgesteld als twee concentrische cirkels. Voor elk punt op de kleine cirkel is er exact één punt op de grote cirkel en omgekeerd.Je kan dus verwachten dat het samengestelde wiel dezelfde afstand aflegt als het kleine wiel over een staaf rolt of als het grote wiel over de weg rolt. Maar dat kan toch niet, want de omtrek van beide cirkels is verschillend!

Deze paradox werd door Aristoteles beschreven in een oude Griekse tekst Mechanica. 

Cantor heeft veel later aangetoond dat een een-op-eenovereenkomst van punten, niet betekent dat twee krommen even lang moeten zijn. 

De totale verplaatsing van punten op de omtrek van een Aristoteles-wiel kan je zien op onderstaande afbeelding:

Inclusie-exclusiestelling

Geplaatst op door

Veronderstel dat A_i eindige deelverzamelingen zijn  van U en noteer met |A_i| het aantal elementen van A_i, dan geldt: 

We noemen dit de inclusie-exclusie stelling. 

Noteer S_i de som van het aantal elementen in alle mogelijke doorsneden van i verzamelingen A_i. Merk op dat S_i precies {n} \choose {i} termen bevat. Noteer met S_0 het aantal elementen van U. Formuleren we nu een algemenere versie van vorig resultaat:

Het aantal elementen van U dat tot precies m verzamelingen A_i behoort, wordt gegeven door de formule:

    \[\sum_{i=0}^{n-m}(-1)^i \binom{m+i} {m} S_{m+i}\]

  • Voor m=n vinden we het aantal elementen dat tot alle A_i behoren.
  • Voor m=0 vinden we het aantal elementen dat tot geen enkele A_i behoort.

    Vind het aantal getallen tussen 1 en 1000 dat niet deelbaar is door 2,3,5 of 7.
  • Stem A_m=\{k\leq 1000 \text{ zodat k een m-voud is }\}.
  • Het is eenvoudig na te rekenen dat |A_2|=500, |A_3|=333, |A_5|=200 en |A_7|=142. Bijgevolg is S_1=1175. 
  • Er zijn 166 getallen die een 2 en 3 voud zijn. Er zijn 100 getallen die een veelvoud zijn van 2 en 5. Er zijn 71 getallen die een veelvoud zijn van 2 en 7. Er zijn 66 getallen die een veelvoud zijn van 3 en 5. Er zijn 47 getallen die een veelvoud zijn van 3 en 7. Er zijn 28 getallen die een veelvoud zijn van 5 en 7. Dus isS_2=478.
  • Eenvoudig narekenen geeft dat S_3=79 .
  • Er zijn 4 getallen die zowel deelbaar zijn door 2,3,5 en 7. Dus S_4=4.
  • Het aantal getallen dat door geen van de cijfers 2,3,5 of 7 deelbaar is, is dan ook gelijk aan: 1000-1175+478-79+4=228.
  • Het aantal getallen dat door één van de cijfers deelbaar is, wordt gegeven door :1*1175-2*478+3*79-4*4=440. Voor twee vinden we 265; voor drie 63 en tenslotte voor vier 4.

AI assistent 4.0 geeft een antwoord, maar dat is duidelijk fout!

Er zijn 720 getallen tussen 1 en 1000 die niet deelbaar zijn door 2, 3, 5 of 7. Je kunt dit aantal berekenen door alle cijfers tussen 1 en 1000 te tellen die deelbaar zijn door 2, 3, 5 of 7:

2: 500
3: 333
5: 200
7: 142

Totaal: 1225 getallen

Aantal getallen tussen 1 en 1000 die niet deelbaar zijn door 2, 3, 5 of 7: 1000 – 1225 = 720

Icosian

Geplaatst op door

Het spel icosian heeft als doel een route te vinden langs de ribben van een twaalfvlak zodat elk hoekpunt slechts één keer wordt aangedaan. Het spel werd beschreven door de Ierse wiskundige William Hamilton(1805-1865).

In de moderne grafentheorie zoeken we naar een rondgang waarbij elk hoekpunt van de graaf één keer wordt aangedaan. Een hamiltonpad is een route die eindigt bij het beginpunt.

Paardenrondgang

Geplaatst op door

Een paardenrondgang is een route bestaande uit paardensprongen op een schaakbord zodat elk veld van het schaakbord juist 1 keer wordt aangedaan.

De oude Arabieren konden dit al: Al-Adli, uit een manuscript uit het jaar 840

Een andere vastgelegde paardenrondgang is een oplossing  uit 1733 van de Franse wiskundige Lemoivre.  Speciaal was de oplossing van Euler . Hij
presenteert een opgevuld schaakbord met een rondgang waarvan de op volgorde genummerde sprongen op het bord ook een (half)magisch vierkant voorstellen met de magische som 260 (de som op de diagonalen klopt niet)

Deze rondgang was niet gesloten, met andere woorden eind en beginpunt vallen niet samen. Dat dit wel kon , liet in 1849 een Hongaar, Wenzelides zien: 

 

Er zijn wel  honderdzes biljoen verschillende gesloten paardronden. In augustus 2003 werd bekend dat de Fransman Meyrignac een 156 jaar oud wiskundig probleem had opgelost; dat van de ‘volledig magische paardronde’. Een door hem afgerichte supercomputer kwam er na 61 dagen rekenen achter dat die paardronde niet bestaat.