Auteur archieven: admin

Nootje 35

Geplaatst op door

Zoek een getal van 6 cijfers dat begint en eindigt met een 2 en het product is van 3 opeenvolgende even getallen.

Antwoord

  • Even getallen eindigen steeds op 0,2,4,6 of 8.
  • Het product van drie opeenvolgende even getallen eindigt dan op 0*2*4, 2*4*6, 4*6*8 of 6*8*0.
  • Enkel de combinatie 4*6*8 eindigt dus op een 2.
  • Nu is 50^3=125000 en 60^3=216000.
  • Bijgevolg zijn de getallen: 64,66 en 68 en hun product is 287232.

Nootje 34

Geplaatst op door

Bereken de som van de coëfficiënten van de veelterm P(x) als

    \[(10x^{34}+2x^3+5)P(x)=2023x^{2023}\]

Antwoord

  • Het is handig te weten dat de som van de coëfficiënten van een veelterm kan berekend worden door de getalwaarde van 1 te berekenen, dus P(1).
  • Vullen we 1 in bij de gegeven identiteit, dan vinden we: (10+2+5)P(1)=2023;
  • Hieruit volgt dat P(1)=119
  • De som van de coëfficiënten van de veelterm Px) is dus 119.

Nootje 33

Geplaatst op door

Vind x-y als gegeven is dat x^4=y^4+24, x^2+y^2=6 en x+y=3.

Antwoord

  • Om de 2 onbekenden x en y uit te rekenen heb je eigenlijk maar 2 vergelijkingen nodig. Dan kan je ook x-y uitrekenen. Maar waarschijnlijk is dat wel niet de bedoeling.
  • Omdat x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2), vinden we uit de eerste betrekking dat 24=(x-y)*3*6;
  • Hieruit volgt dan dat x-y=\frac{4}{3}.

De gulden snede en de rij van Fibonacci

Geplaatst op door

We kennen allemaal de gulden snede. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen van een lijnstuk zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. 

Maar er is ook een verband tussen \varphi en de rij van Fibonacci. Noteren we het n-de getal in deze rij door F(n).

  • Als we in bovenstaande uitdrukking \frac{a}{b} vervangen door \varphi, dan vinden we dat \varphi^2=\varphi+1.
  • Maar dat is \varphi^3=\varphi^2+\varphi=2\varphi+1.
  • Dus \varphi^4=2\varphi^2+\varphi=3\varphi+2.
  • Algemeen kan men dan stellen dat :

        \[\varphi^n=F(n)\varphi+F(n-1)\]