Chebychev metriek

Geplaatst op 9 april 2023 door admin

We weten allemaal hoe we de afstand meten tussen twee punten. Hierbij verzwijgen we eigenlijk dat het gaat over de euclidische afstand. Er zijn ook andere manieren om een afstand te berekenen.

Zo heb je bijvoorbeeld de Chebychev afstand ( naar de Russische wiskundige Pafnoeti Chebychev(1821-1894)) en de taximetrische afstand. Neem twee punten $A(x_1,x_2,...,x_n)$ en $b(y_1,y_2,...,y_n)$ , dan is de Chebychev afstand het maximum van de getallen $|x_i-y_i|$ en de taximetrische afstand is de som van al die getallen.

Zo is de Chebychev afstand tussen twee velden op een schaakbord het minimum aantal zetten dat de koning nodig heeft om zich van het ene punt naar het andere punt te begeven.

We geven tot slot nog een afbeelding van de eenheidscirkel in de drie afstanden: Euclidisch, Chebychev en taximetrisch:

Product van de delers van een getal

Geplaatst op 4 april 2023 door admin

Noteer met i het aantal delers van een gegeven natuurlijk getal n, dat verschilt van 0. Kan je dan een formule vinden voor het product van al de delers van n?

Stel del(n) = $\{d_1,d_2,\cdots,d_i\}$ en noteer met P(n) het product van alle delers . Dan is P(n) = $d_1*d_2*\cdots*d_i=d_i*\cdots*d_2*d_1$ . Vermenigvuldigen we deze twee uitdrukkingen met elkaar : $P(n)^2=n^i$ , dan vinden we

$P(n)=\sqrt{n^i}$

Enkele voorbeelden:

del(7) = (1,7} , dus $P(7)=\sqrt{7^2}=7$ en 1*7=7
del(9) = (1,3,9} , dus $P(9)=\sqrt{9^3}=27$ en 1*3*9=27.
del(12) = (1,2,3,4,6,12} , dus $P(12)=\sqrt{12^6}=1728$ en 1*2*3*4*6*12=1728.

Koning Narmer

Geplaatst op 26 maart 2023 door admin

Een koning die volgens de hiërogliefen Narmer heet, maar die ook bekend staat als Menes, verenigt rond 3000 B.C. de beide Egyptische koninkrijken Boven- en Beneden-Egypte tot één staat. Met deze koning begint de eerste dynastie van het Verenigde Egyptische koninkrijk.

Om het prestige van zijn overwinning kracht bij te zetten heeft Narmer volgend palet laten maken waarop zijn overwinning op het noorden wordt uitgebeeld.

Hij draagt hierop nog de witte kroon van Boven (upper) Egypte.

De koning is de belichaming van goddelijke macht op aarde. Narmer haalt dan ook als de hemelgod Horus zijn overwinning op Beneden Egypte en in diens tempel wordt het palet opgesteld.

Nootje 32

Geplaatst op 23 maart 2023 door admin

Antwoord

Neem de veelterm V(x) met a,b en c als wortels.
Dan is $V(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ .
Uitgewerkt geeft dit: $V(x)=x^3-S_1x^2+S_2x-S_3$ . Hierbij is $S_1=a+b+c=1$ , $S_2=ab+bc+ac=2$ en $S_3=abc=3$ .
Bijgevolg is $V(x)=x^3-x^2+2x-3$ met $V(a)=V(b)=V(c)=0$ .
Hieruit volgt dat $a^3=a^2-2a+3$ . En dus is $a^4=a^3-2a^2+3a=-a^2+a+3$ . Er zijn gelijkaardige formules voor b en c.
Nu is $a^4+b^4+c^4=-(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)+9=-((a+b+c)^2-2(ab+ac+bc))+10=13$ .