Auteur archieven: admin

Oppervlakte vierhoek

Geplaatst op door

Welke convexe vierhoek, met vaste zijden a,b,c en d heeft de grootste oppervlakte?

  • Stel S de oppervlakte van de vierhoek ABCD. Gebruik de formule voor de oppervlakte van een driehoek: de helft van het product van twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek : 2S=ab \sin B+cd \sin d.
  • We kunnen de diagonaal AC bepalen via de cosinusregel in de driehoeken ABC en ADC: |AC|^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd\cos D.
  • Uit de laatste betrekking volgt dat

        \[\frac{1}{2}(a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd \cos D\]

  • Kwadrateren  en optellen van de eerste formule en de laatste geeft:

        \[4S^2=a^2b^2+c^2d^2-2abcd\cos(B+D)-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\]

  • Nu is S maximaal als \cos (B+D) minimaal is, dus gelijk aan -1. Maar dan zijn de hoeken B en D supplementair en is de vierhoek een koordenvierhoek en kan dus ingeschreven worden in een cirkel.
  • Als we deze waarde -1 invullen in de vorige formule en we stellen a+b+c+d=2P, dan kunnen we hieruit die maximale oppervlakte bepalen:

        \[S=\sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}\]

  • Deze formule is een veralgemening van de formule van Heroon voor een driehoek (stel d=0).

Sangaku 13

Geplaatst op door

Antwoord

  • We zoeken de vergelijking van de groene cirkel , met middelpunt de oorsprong en straal r: x^2+y^2=r^2.
  • f(x)=\sqrt{r^2-x^2}  is de vergelijking van de bovenste halve cirkel
  • De cirkel raakt aan de rode kromme g(x) in P(x,y) als en slechts als f(x)=g(x) en f'(x)=g'(x).
  • De eerste betrekking betekent dat x+\sqrt{1}{x}=\sqrt{r^2+x^2}
  • De tweede betrekking geeft: 1-\frac{1}{x^2}=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}
  • Hieruit volgt dat 1-\frac{1}{x^2}=-\frac{x^2}{x^2+1}.
  • Uitrekenen geeft x=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}. En bijgevolg is y=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\sqrt[4]{2}.
  • Nu is r^2=x^2+y^2, dus is r^2=2+2\sqrt{2}.
  • De vergelijking van de groene cirkel is:

        \[x^2+y^2=2+2\sqrt{2}\]

 

De hartslag van de Hertberg

Geplaatst op door

Mooie wandeling in het Merodelandschap. Lengte 11 km, voornamelijk over bospaden en veldwegen. Je passeert het stiltegebied Helschot, een natuurgebied waar schrijver Willem Elsschot tijdens zijn vakanties in alle rust zijn inspiratie opdeed. Mogelijke start ( knooppunt 25-26) aan de afspanning Mie Maan, Diestebaan in Herselt.

38 – 39 – 125 – 126 – 188 – 151 – 150 – 165 – 118 – 25 – 26 – 32 – 386 – 418 – 35 – 119 – 37 – 38

Toevoeging en klassen vergelijking

Geplaatst op door

Elke groep G werkt, door toevoeging, op zichzelf:

De baan van een element x van G, ook orbit genoemd, noteren we als Orb(x) en is de verzameling elementen van G die toegevoegd zijn aan x: met andere woorden de toevoegingsklasse van x.

De centralisator  C_g van een element g is de verzameling elementen van G die commuteren met g. Het is altijd een deelgroep van G en er is een bijectief  verband tussen de elementen van  Orb(x) en G/G_x. Met andere woorden de orde van een toevoegingsklasse is de index van de centralisator van een willekeurig element x van die klasse in G. Dus deelt de orde van een toevoegingsklasse steeds de orde van de groep.

De klassen vergelijking schrijft de orde van G als som van de ordes van de toevoegingsklassen.

Basisfeiten over groepen

Geplaatst op door

Voor de classificatie van eindige groepen kunnen we beroep doen op de stellingen van Sylow ofwel kunnen we gebruik maken van een aantal elementaire eigenschappen:

  • Groepen van priem orde  zijn cyclisch en uniek op een isomorfisme na.
  • Toegevoegde elementen hebben dezelfde orde.
  • Als de quotiënt groep van G met zijn centrum Z(G) cyclisch is, dan is G abels.
  • Als in een groep G, alle elementen, behalve het eenheid element, orde 2 hebben, dan is G abels.
  • Als p priem is, dan is het aantal elementen van orde p altijd een veelvoud van p – 1.
  • Als een groep G gegenereerd wordt door 2 normale deelgroepen H en K ( dus elk element van G is te schrijven onder de vorm h_1k_1h_2k_2...h_rk_r, en als H\capK=\{e\} dan is G het direct product van H met K. Dus  G\cong H \times K.
  • Abelse groepen zijn ofwel cyclisch ofwel het direct product van cyclische groepen.