Auteur archieven: admin

Pig

Geplaatst op door

Een speler werpt met een dobbelsteen tot er een 1 is gegooid of de speler zijn beurt opgeeft en het totaal aantal ogen van die beurt als winstpunten noteert. Wie het eerst 100 punten of meer scoort is de winnaar. 

Voorbeeld: speler A gooit een 6 , dan een 4 en dan een 1: geen punten en de beurt gaat naar speler B. Die gooit een 3,4 en een 6 en besluit het hierbij te laten. Hij noteert 13 punten en de beurt is terug bij A.

Dit spel, Pig genoemd, werd voor het eerst beschreven in 1945 door de Amerikaanse goochelaar John Scarne. Het is een afwegingsspel: na elke worp van iets anders dan 1 moet worden beslist of de kans op meer punten opweegt tegen de kans om een 1 te gooien en alle punten van de beurt te verliezen.

Is er winnende strategie?Enkele computerwetenschappers hebben met behulp van wat wiskunde en computergraphics een winnende strategie gevonden. Als beide spelers nog een lage score hebben, dan kan je die benaderen door te stoppen éénmaal je 20 of meer. scoort bij je beurt . Bij iets hogere totalen kan je beter stoppen eens je 25 of meer hebt en als je al meer dan 70 punten hebt, dan ga je gewoon voor een zo hoog mogelijke beurt.

 

Nootje 41

Geplaatst op door

Gegeven zijn twee cirkels met stralen 4 en 11. De afstand tussen hun middelpunten is 25. Bepaal de som van de lengtes van een inwendig en een uitwendig  gemeenschappelijke raaklijn.

Antwoord

  • Verbind de middelpunten van de cirkels met de raakpunten A en A’ en teken door A’ een evenwijdige met de rechte die de middelpunten van de twee cirkels (de centraal)  verbindt.
  • De onderste driehoek is rechthoekig. De schuine zijde meet 25 en één van de rechthoekszijden is 11-4=7. Dus is, volgens Pythagoras y=24.
  • Noteer met S het snijpunt van de centraal met TT’.
  • De driehoeken OTS en MT’S zijn gelijkvormige rechthoekige driehoeken. Dus \frac{25-a}{11}=\frac{a}{4}. Bijgevolg is a=\frac{20}{3}.
  • Dan is x=|TS|+|T'S|=\sqrt{a^2-4^2}+\sqrt{(25-a)^2-11^2}=20.
  • Tenslotte is de gevraagde som gelijk aan x+y=44.

De Kepler-Bouwman constante

Geplaatst op door

Teken een cirkel met straal 1. Teken een regelmatige ( dus gelijkzijdige) driehoek, omgeschreven aan deze cirkel. Teken vervolgens de omgeschreven cirkel van die driehoek en het vierkant omgeschreven aan die cirkel. Daarna teken je weer de omgeschreven cirkel van dat vierkant en een regelmatige vijfhoek omgeschreven aan die cirkel. Ga daar oneindig mee door.

We zouden kunnen verwachten dat je zo steeds grotere cirkel gaat bekomen. En hoewel de cirkels aanvankelijk groter worden, neemt de mate van groter worden steeds af en zullen de stralen van de omgeschreven cirkels naderen tot een bepaalde limietwaarde. 

Die waarde lijkt niet zo moeilijk om uit te rekenen.

De verhouding van de stralen van de gele en groene cirkel is \cos \frac{\pi}{3}. Hieruit volgt dat de gezochte limietwaarde het omkeerde  is van

    \[\prod_{k=3}^{\infty}\cos \frac{\pi}{k}\]

De eerste die dit deden waren Edward Kasner (1878-1955)  en James Newman (1907-1966). Zij bekwamen een waarde van ongeveer 12. In 1965 gaf een Nederlandse wiskundige Christoffel Bouwkamp (1915-2003) als waarde 8,7000 aan.`