22/7 | Wiskunde is leuk

Vroeger vertelde men ons dat we voor $\pi$ de breuk $\frac{22}{7}$ mochten nemen. Natuurlijk drong het niet bij iedereen door dat dit een benadering was. Een bewijsje:

Neem de functie

$f(x)=\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}$

f is strikt positief en continu tussen 0 en 1.
Dus is $\int_0^1f(x) dx>0$ .
De Euclidische deling geeft $\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}=x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}$ .
Een primitieve functie van f is dan $\frac{1}{7}x^7-\frac{4}{6}x^6-x^5-\frac{4}{3}x^3+4x-4\text{Bgtan }(x)$ .
Bijgevolg is $\int_0^1f(x) dx= \frac{22}{7}-\pi$ .
Uit het tweede puntje volgt dan:
Narekenen op rekentoestel geeft $\frac{22}{7}=3,142857142857,...$ en $\pi=3,14159265...$ .