Punt van Torricelli | Wiskunde is leuk

Zoek binnen een driehoek een punt T zodat de som van de afstanden van T tot de hoekpunten zo klein mogelijk is. Deze vraag werd door Fermat voorgelegd aan Evangelista Torricelli (1608-1647) en was bedoeld als een soort uitdaging. Vandaar dat men dit punt het punt van Torricelli of het punt van Fermat noemt. Torricelli was assistent van Galilei en volgde hem op als wiskundige aan het hof van groothertog van Toscane.

Hierboven zie je de constructie: construeer op twee zijden van de gegeven driehoek ABC gelijkzijdige driehoeken PAC en BCQ. Verbind Q met A en P met B. Het snijpunt van BP en AQ geeft het punt T.

Om dit probleem te kraken, gebruiken we de driehoeksongelijkheid. Die zegt dat de kortste weg tussen twee punten de rechte lijn is door die punten. Neem nu een willekeurig punt P binnen de driehoek. en draai de driehoek CPB $60^\circ$ rond C zodat P op Q en B op X wordt afgebeeld ( zie linker figuur). De driehoeken CPB en CQX zijn dan congruent en dus is $|PB|=|QX|$ en $|PC|=|CQ|$ . Maar dan is driehoek CPQ gelijkzijdig en is $|PC|=|PQ|$ . Dan is de som S van de afstanden van P tot de hoekpunten van de gegeven driehoek gegeven door $S=|AP|+|PQ|+|QX|$ . Volgens de driehoeksongelijkheid wordt S dan minimaal als A,P,Q en X op 1 lijn liggen. De positie van X hangt niet af van de keuze van P, dus moeten we P zo kiezen dan A,P,Q en X op 1 lijn liggen. Uit de tekening is het duidelijk dat we P zo moet kiezen dat P op AX ligt en de hoek tussen CP en PX moet $60^\circ$ zijn. Dit komt neer op de constructie die hierboven werd uitgelegd.

Merk ook op dat de lijnstukken vanuit het punt van Torricelli T, naar de hoekpunten toe, onderling hoeken maken die allemaal gelijk zijn aan $120^\circ$ .