Plaats de eerste 20 getallen op een cirkel. S is de som van ( de positief getelde ) verschillen van twee aanliggende getallen. Wat zijn de minimum en maximum waarden voor S?
Antwoord
Proberen we eens uit met 4 getallen en noteer een schikking op de cirkel door bijvoorbeeld ( 1,3,2,4). De waarde van S is dan (3-1)+(3-2)+(4-2)+(4-1)=8.
Als we de schikking (1,2,3,…,20) gebruiken, dan is het positief getelde verschil va twee buren altijd 1 behalve bij de buren 1 en 20. Dus s=19.1+19=38. Dit is duidelijk de minimumwaarde.
Noteer de getallen door . Dan is elk verschil van de vorm .
Bijgevolg is met en waarvan de som van alle gelijk is aan 0.
Dan wordt S gemaximaliseerd door en en dan is .
Dit kan je effectief verkrijgen door volgende schikking: (1,20,2,19,3,18,…,10,11).
. Dan is elk verschil van de vorm 
.
met 
en waarvan de som van alle 
gelijk is aan 0.
en 
en dan is 
.