Euclidische getallen | Wiskunde is leuk

Een Euclidisch getal van de eerste soort is een getal van de vorm $E_n=p_1.p_2.\cdots.p_n+1$ , waarbij $p_1,...,p_n$ de eerste n priemgetallen voorstellen. De getallen danken hun naam aan de Griekse wiskundige Euclides, die ze gebruikte in zijn bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Stel dat er maar een eindig aantal priemgetallen zou zijn , zeg n. Noteer die dan door $p_1,p_2,...,p_n$ . Neem dan het getal $x=p_1.p_2.....p_n+1$ . Het getal x geeft bij deling door alle priemgetallen $p_i$ als rest 1. Bijgevolg is x zelf ook een priemgetal, dat groter is dan alle gegeven priemgetallen. Dit is onmogelijk, dus moeten er oneindig veel priemgetallen zijn.

Zo is $E_1=2+1=3$ , $E_2=2.3+1=7$ , $E_3=2.3.5+1=31$ . Dan komen 211,2311, 30031,…

Niet alle Euclidische getallen zijn priem. Het eerste niet-priemgetal is 2.3.5.7.11.13 = 30031 = 59 × 509 . Een open vraag is of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn.
Elk Euclidisch getal laat bij deling door 4 een rest gelijk aan 4 na. Dit komt omdat $p_1.p_2.....p_n$ , juist 1 factor 2 bevat.
Bijgevolg kan een Euclidisch getal nooit een kwadraat zijn.
Voor $n \geq 3$ is het cijfer der eenheden van $E_n$ altijd een 1.

Een Euclidisch getal van de tweede soort is een getal van de vorm $E_n=p_1.p_2.\cdots.p_n-1$ , waarbij $p_1,...,p_n$ de eerste n priemgetallen voorstellen. De eerste euclidische getallen van de tweede soort zijn 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689,… Ook hier weten we eigenlijk niet of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn. In ieder geval het eerste niet priemgetal in de rij is 209 = 11 x 19.