Stelling van Wilson | Wiskunde is leuk

De kleine stelling van Fermat zegt ons dat voor een priemgetal p geldt dat $a^p \equiv a \mod{p}$ . Maar dan zijn 1,2, … , p – 1 allemaal nulpunten van de veelterm $X^{p-1}-1$ in de verzameling $\mathbb{Z}_p[X]$ en dus kunnen we, omdat er geen nuldelers zijn, volgende ontbinding neerschrijven: $X^{p-1}-1 = (X-1)(X-2) \cdots (X-(p-1))$ .
Door hierin X te vervangen door 0, vinden we een deel van volgende stelling:

$p \text{ is priem als en slechts als } (p-1)! \equiv -1 \mod{p}$

Dit resultaat staat bekend als de stelling van Wilson, naar de Engelse wiskundige John Wilson (1741-1793). Nochtans komt dit resultaat een eerste keer voor bij Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965-1040)

Bovendien had Wilson geen bewijs van de stelling. Het was Lagrange die in 1771 het eerste bewijs ervan formuleerde.

Het is ook duidelijk dat als n een samengesteld getal is, groter dan 4, dat $(n-1)! \equiv 0 \mod{n}$ .

Een algemene vorm is voor ieder oneven priemgetal p en voor ieder positief geheel getal k kleiner dan p:

$(k-1)!(p-k)! \equiv (-1)^k \mod{p}$

Deze veralgemening danken we aan C.F.Gauss