Nootje 4

De  som van twee positieve gehele getallen getallen is 2019. Bewijs dat hun product nooit deelbaar is door 2019.

Antwoord

 

  • Veronderstel dat het product van de getallen toch deelbaar is door 2019, dan is het product gelijk aan 2019.n
  • De twee getallen zijn dan oplossingen van de vierkantsvergelijking

        \[x^2-2019x+2019n=0\]

  • De discriminant D moet dus een volkomen kwadraat zijn. Nu is D=2019^2-4\times 2019n=3\times 673(2019-4n). Dit is een volkomen kwadraat als 2019-4n=3 \times 673 k^2. Maar dan is 2019-4n=2019k^2\geq 2019 en dit is onmogelijk.