Opgave 5 | Wiskunde is leuk

Voor welke waarde van $m \in \mathbb{N}_0$ is $x^{3m}+x^{2m}+x^m+1$ deelbaar door $x^3+x^2+x+1$ ?

Antwoord

Een veelterm A is deelbaar door een veelterm B als alle nulwaarden van B ook nulwaarden zijn van A.
Nu is $B=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$ , dus de nulwaarden van B zijn : $-1,i,-i$ .
Omdat $A=x^{3m}+x^{2m}+x^m+1$ enkel gehele coëfficiënten heeft kunnen we de stelling van d’Alembert gebruiken die zegt dat als $a+bi$ een nulwaarde is, dan is $a-bi$ dat ook.
We moeten dus enkel eisen dat $-1$ en $i$ nulwaarden zijn van A.
Dan moet $(-1)^{3m}+(-1)^{2m}+(-1)^m+1=0$ of $(-1)^m+1+(-1) ^m+1=2+2(-1) ^m=0$ . Hieruit volgt dat $m$ oneven moet zijn.
Verder moet ook $i^{3m}+i^{2m}+i^m+1=0$ . Dus moet $(-i)^m+(-1) ^m+i^m+1=0$ . Als $m=4k$ dan is $A(i) \neq 0$ . In alle andere gevallen is $A(i)$ wel gelijk aan $0$ .
De twee voorwaarden samen geven dat m gewoon oneven moet zijn.
Dus is $x^{3m}+x^{2m}+x^m+1$ deelbaar door $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1$ als $m$ oneven is.