Maandelijks archief: februari 2025

Laatste reeks haiku’s uit Diest

Geplaatst op door

Sara Yassi uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Cirkels en lijnen

pi fluistert een geheim door

oneindig exact

Jelle Dehaes uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Wiskunde kunst leeft

in grafieken en getal

het eeuwige stel

Yaro Nickmans uit 4BIOWE A , de Prins Diest

X en Y in strijd

zoek de waarde die hen bindt

oneindig verschijnt

Ayoub Ezegragui uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Cijfers dansen vrij

logica vormt een patroon

oneindig getal

Paco Vandebosch uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Sommen en lijnen

oneindig veel vragen, maar

toch klopt alles wel

Zander Peeters uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Breuken zijn maar stom

ik snap niks van die haakjes

toch haal ik een tien

Judith Camps uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Pi is oneindig

een parabool is bochtig

wiskunde spiraal

Oskar Philipsen uit 4Nawe B , de Prins Diest

Oneindig cirkelt

getallen dansen zwijgend

nul kust het begin

Robbe Delbaere uit 4Nawe B , de Prins Diest

Niet p of niet q

en wordt of en of wordt en

De Morgan’s eenvoud

Ibrahim Kelo uit 3 Ecwe, de Prins Diest

Hoek, lijn, recht en scherp

wiskunde maakt het logisch

driehoek valt precies

 

 

De ladder stelling

Geplaatst op door

Er is een verband tussen de hoogtes  gegeven in onderstaande tekening.

Deze stelling kan je gebruiken om in onderstaande tekening de oppervlakte van het witte deel te bepalen. Door de ladder stelling een aantal keer te gebruiken  met hoogtes uit E,F en D en eveneens vanuit B en C tot aan de verlengdes van de zijden AC en AB vinden we een verband tussen de oppervlaktes van driehoeken met BC als basis. Noteer met x , y en z de oppervlakte van respectievelijk de driehoeken BEF,BFC en FDC. Noteer met a de oppervlakte van driehoek ABC, dan geldt :

    \[\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\]

Neem bijvoorbeeld x=3, y=9 en  z=6,  en noteer w voor de witte oppervlakte :

    \[\dfrac{1}{w+18}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15}\]

Hieruit volgt dat w=\dfrac{54}{7}

 

De stelling van Holditch

Geplaatst op door

Begin met een convexe kromme en laat binnen de kromme een lijnstuk  langs de kromme bewegen, waarbij de uiteinden steeds op de kromme moeten blijven liggen. Op dat lijnstuk nemen we een punt dat het lijnstuk verdeeld in twee delen a en b. Als het lijnstuk beweegt, beschrijft dat punt een nieuwe kromme  binnen de eerste kromme. De stelling van Holditch zegt nu dat de oppervlakte tussen de twee krommen altijd gelijk is aan \pi ab.

De stelling werd in 1858 gepubliceerd door de Engelse wiskundige Hamer Holditch (1800-1867).

Een voorbeeld :

Merk op dat als de beginkromme een cirkel is, de tweede kromme ook een cirkel is.

Het postulaat van Bertrand

Geplaatst op door

Het postulaat van Bertrand is een bekende stelling in de getaltheorie die stelt dat er voor elk natuurlijk getal  n>1 altijd minstens één priemgetal p bestaat tussen n en 2n. Men kan zelfs bewijzen dat voor n > 5 er tussen n en 2n ten minste twee priemgetallen liggen. Neem bijvoorbeeld n=127, dan merken we  tussen 127 en 254 de priemgetallen 139 en 163 op. 

Het postulaat werd in 1845 geformuleerd door de Franse wiskundige Joseph Bertrand (1822-1900) op basis van empirische waarnemingen. Hij testte de bewering voor alle getallen tot 3 miljoen en vond geen tegenvoorbeeld. Een volledig formeel bewijs werd echter pas in 1852 geleverd door de Russische wiskundige Pafnoeti Tsjebysjev, waardoor de stelling ook wel bekendstaat als de stelling van Tsjebysjev.

Later werden er eenvoudigere bewijzen gevonden, waaronder een elegant bewijs met behulp van de priemgetalstelling en methoden van Ramanujan en Erdős.

Het postulaat van Bertrand is belangrijk in de getaltheorie omdat het inzicht geeft in de verdeling van priemgetallen. Het leidt tot enkele nuttige resultaten, zoals:

  • Een snellere benadering van priemgetallen: Dit postulaat garandeert bijvoorbeeld dat er altijd een priemgetal is tussen n en 2n, wat handig is bij algoritmes die priemgetallen genereren.
  • Het product van de k eerste priemgetallen is kleiner dan 2^k.
  • In de ontbinding in priemfactoren van n! staat er minstens 1 priemgetal met exponent 1.

In het algemeen blijft het postulaat een belangrijk voorbeeld van hoe priemgetallen over de natuurlijke getallen verdeeld zijn en inspireerde het verder onderzoek naar priemgetaldistributies.