Maandelijks archief: november 2024

Nootje 52

Geplaatst op door

Een bol is ingeschreven in een afgeknotte kegel en het volume van de bol is de helft van het volume van de afgeknotte kegel. Bereken de verhouding van de stralen van boven en ondervlak van die afgeknotte kegel.

Antwoord

  • We zoeken de verhouding \frac{b}{a}.
  • De blauwe lijnstukken zijn gelijk als ook de rode omdat raaklijnen uit een punt buiten de cirkel evenlaag zijn.
  • De groene driehoek is rechthoekig omdat de rechthoekzijde de bissectrices zijn van twee supplementaire hoeken. Dus is ab=r^2.
  • Volume bol is \frac{4}{3}\pi r^3 en het volume van de afgeknotte kegel = \frac{1}{3}h\pi(a^2+ab+b^2).
  • Omdat de hoogte van de afgeknotte gele gelijk is aan 2r en omdat het volume van de bol de helft is van die van de afgeknotte kegel is

        \[\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{1}{2}\frac{1}{3}2r\pi (a^2+ab+b^2)\]

    .
  • Hieruit volgt: 4r^2=a^2+ab+b^2; Maar r^2=ab, dus is a^2-3ab+b^2=0.
  • Stel de verhouding \frac{b}{a}=x, dan is x^2-3x+1=0.
  • Het oplossen van deze vierkantsvergelijking geeft x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}.
  • Omdat b>a vinden we uiteindelijk dat

        \[x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\]