Maandelijks archief: september 2023

Nootje 41

Geplaatst op door

Gegeven zijn twee cirkels met stralen 4 en 11. De afstand tussen hun middelpunten is 25. Bepaal de som van de lengtes van een inwendig en een uitwendig  gemeenschappelijke raaklijn.

Antwoord

  • Verbind de middelpunten van de cirkels met de raakpunten A en A’ en teken door A’ een evenwijdige met de rechte die de middelpunten van de twee cirkels (de centraal)  verbindt.
  • De onderste driehoek is rechthoekig. De schuine zijde meet 25 en één van de rechthoekszijden is 11-4=7. Dus is, volgens Pythagoras y=24.
  • Noteer met S het snijpunt van de centraal met TT’.
  • De driehoeken OTS en MT’S zijn gelijkvormige rechthoekige driehoeken. Dus \frac{25-a}{11}=\frac{a}{4}. Bijgevolg is a=\frac{20}{3}.
  • Dan is x=|TS|+|T'S|=\sqrt{a^2-4^2}+\sqrt{(25-a)^2-11^2}=20.
  • Tenslotte is de gevraagde som gelijk aan x+y=44.

De Kepler-Bouwman constante

Geplaatst op door

Teken een cirkel met straal 1. Teken een regelmatige ( dus gelijkzijdige) driehoek, omgeschreven aan deze cirkel. Teken vervolgens de omgeschreven cirkel van die driehoek en het vierkant omgeschreven aan die cirkel. Daarna teken je weer de omgeschreven cirkel van dat vierkant en een regelmatige vijfhoek omgeschreven aan die cirkel. Ga daar oneindig mee door.

We zouden kunnen verwachten dat je zo steeds grotere cirkel gaat bekomen. En hoewel de cirkels aanvankelijk groter worden, neemt de mate van groter worden steeds af en zullen de stralen van de omgeschreven cirkels naderen tot een bepaalde limietwaarde. 

Die waarde lijkt niet zo moeilijk om uit te rekenen.

De verhouding van de stralen van de gele en groene cirkel is \cos \frac{\pi}{3}. Hieruit volgt dat de gezochte limietwaarde het omkeerde  is van

    \[\prod_{k=3}^{\infty}\cos \frac{\pi}{k}\]

De eerste die dit deden waren Edward Kasner (1878-1955)  en James Newman (1907-1966). Zij bekwamen een waarde van ongeveer 12. In 1965 gaf een Nederlandse wiskundige Christoffel Bouwkamp (1915-2003) als waarde 8,7000 aan.`

Opgave 38

Geplaatst op door

Antwoord

  • Bekijken we het probleem wat algemener en gebruiken we de eigenschap dat de raaklijnen vanuit een punt aan een cirkel evenleng zijn.
  • Noteren we de straal van de ingeschreven cirkel met x .
  • We passen  nu de stelling van Pythagoras toe: 5^ 2=(x+2)^2+(x+3)^2.
  • Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossing 1 en -6. Bijgevolg is x=1.
  • De gevraagde oppervlakte is dan \frac{1}{2}(2+1)(3+1)=6.