Maandelijks archief: juli 2023

Stonehenge

Geplaatst op door

De geschiedenis van het megalithische monument begint rond 3000 BC. Dierenbotten en vuurstenen werktuigen getuigen van feesten en rituelen die  jagers-verzamelaars er al van 8000 BC uitvoerden.

Niet ver van Stonehenge, bij Durrington Walls, ontdekte men sporen van tientallen woningen en er bleken cirkelvormige monumenten te hebben gestaan…van hout. . Op die plek woonden de mensen die Stonehenge hebben gebouwd.

Stonehenge en Durrington Walls kann je beschouwen als enerzijds de wereld van de doden en anderzijds de wereld van de levenden. De gebruikte materialen kunnen dit kracht bijzetten: vergankelijk hout tegen duurzaam steen

De negatieve binomiale verdeling

Geplaatst op door

Bij herhaalde onafhankelijke uitvoeringen van eenzelfde Bernoulli experiment (met succeskans p), kunnen we ook vragen wanneer we juist r keer succes hebben verkregen. Noteer met X de stochast die het tijdstip weergeeft van de r-de succes.

  • X heeft als waarden r,r+1,r+2,…
  • P(X = k) is de kans dat het r-de succes bereikt wordt bij de k-de beurt. Dit is de kans op r - 1 successen bij de eerste k-1 uitvoeringen vermenigvuldigd met de kans op succes bij de k-de uitvoering. Dus

        \[P(X = k)=\binom{r-1}{k-1}p^{r-1}q^{k-r}.p=\binom{r-1}{k-1}p^rq^{k-r}\]

  • Deze verdeling heet de negatieve binomiale verdeling of Pascal verdeling, met parameters r en p.
  • Voor r=1 krijgen we uiteraard de geometrische verdeling met parameter p.
  • Het gemiddelde van deze verdeling is E(X)=\frac{r}{p}.
  • De berekening van kansen i.v.m. een negatieve binomiale verdeling kan gebeuren met de tabellen van de binomiale verdeling. Noteer met Y de stochast van de binomiale verdeling met parameters k en p, dan geldt

        \[P(X=k)=\frac{r}{k}P(Y=r)\]

De geometrische verdeling

Geplaatst op door

Veronderstel dat we n onafhankelijke uitvoeringen doen van eenzelfde Bernoulli experiment met succeskans p. Bij de binomiaalverdeling stellen we ons de vraag hoeveel keer succes hebben we. Nu stellen we volgende vraag: na hoeveel uitvoeringen boeken we voor het eerst succes?  

Bijvoorbeeld: hoeveel keer moet de gokker roulette spelen om voor het eerst te winnen?

X is het tijdstip van het eerste succes. X is een stochast met waarden 1,2,…

    \[\text{P(X=k)}=q^{k-1}p\]

We zeggen dat X een geometrische verdeling heeft met parameter p. Het is inderdaad een kansverdeling want de som van alle kansen is 1.

Een voorbeeld van een geometrische verdeling met p=0,10:

Het gemiddelde van zo een geometrische verdeling is \frac{1}{p}. Een belangrijke eigenschap van de geometrische verdeling is het geheugenverlies: ze vergeet het verleden. Als we weten dat uitvoeringen 1 tot en met i mislukkingen waren, dan heeft de wachttijd vanaf die i-de mislukking tot het eerste succes, juist dezelfde verdeling als de wachttijd vanaf het begin. Met andere woorden de verdeling van die wachttijd tot het eerste succes hangt helemaal niet af van het aantal mislukkingen dat tot dan toe gebeurd is. In symbolen:

    \[P(X>i+j|X>i)=P(X>j)\]

Oppervlakte vierhoek

Geplaatst op door

Welke convexe vierhoek, met vaste zijden a,b,c en d heeft de grootste oppervlakte?

  • Stel S de oppervlakte van de vierhoek ABCD. Gebruik de formule voor de oppervlakte van een driehoek: de helft van het product van twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek : 2S=ab \sin B+cd \sin d.
  • We kunnen de diagonaal AC bepalen via de cosinusregel in de driehoeken ABC en ADC: |AC|^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd\cos D.
  • Uit de laatste betrekking volgt dat

        \[\frac{1}{2}(a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd \cos D\]

  • Kwadrateren  en optellen van de eerste formule en de laatste geeft:

        \[4S^2=a^2b^2+c^2d^2-2abcd\cos(B+D)-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\]

  • Nu is S maximaal als \cos (B+D) minimaal is, dus gelijk aan -1. Maar dan zijn de hoeken B en D supplementair en is de vierhoek een koordenvierhoek en kan dus ingeschreven worden in een cirkel.
  • Als we deze waarde -1 invullen in de vorige formule en we stellen a+b+c+d=2P, dan kunnen we hieruit die maximale oppervlakte bepalen:

        \[S=\sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}\]

  • Deze formule is een veralgemening van de formule van Heroon voor een driehoek (stel d=0).