De vruchtbare sikkel

Geplaatst op 18 juni 2023 door admin

Dit is waar het allemaal begon. De Vruchtbare Halve Maan of vruchtbare sikkel: de wieg van de beschaving.

Gedurende de eerste 190.000 jaar van het menselijk bestaan, zwierven we rond in kleine jager-verzamelaars groepjes, die van dag tot dag leefden, voortdurend in angst voor roofdieren en andere mensen. Maar ongeveer 10.000 jaar geleden, in het Mesopotamische gebied tussen de Tigris en de Eufraat in wat nu Irak is, besloten sommige mensen om te blijven waar ze zijn.

Het was in de Vruchtbare Halve Maan dat de landbouw begon. In plaats van rond te dwalen op zoek naar voedsel in een constante staat van oorlog, begonnen mensen zaden te planten en hun eigen gewassen te kweken. Om de overschotten goed te bewaren werden allerlei bouwwerken gemaakt. Om zich te beschermen, moest er worden samengewerkt. Terwijl vroeger menselijke samenlevingen normaal gesproken beperkt waren tot een paar dozijn mensen, ontstonden nu dorpen .

Hier, in deze vroege menselijke nederzettingen in de Vruchtbare Halve Maan , ontwikkelde de mens voor het eerst geschreven taal (waarschijnlijk om de boekhouding bij te houden). Ze hebben dieren gedomesticeerd. Ze hebben het wiel, de ploeg en architectuur uitgevonden. Monotheïstische religie ontstond. Tegen ongeveer 2500 voor Christus werden de eerste bibliotheken gecreëerd. De dingen die we zien als het karakteriseren van “beschaving” begonnen hier.

Een paar duizend jaar geleden trokken mensen uit de Vruchtbare Halve Maan, Europa en Azië binnen en namen de opgemaakte kennis en ervaring mee. En zaden en boerderijdieren. De rest is geschiedenis.

Nootje 38

Geplaatst op 13 juni 2023 door admin

Antwoord

Onderverdelen in driehoeken lijkt een goed idee:
De gelijkheid van oppervlaktes is evident: zelfde hoogte en even grote basis.
De vierhoek linksboven heeft oppervlakte 20 en is dus gelijk aan $16-x+32-y$ .
Hieruit volgt $x+y=28$ .
De oppervlakte van de vierhoek rechts onder, die gevraagd wordt, is gelijk aan $x+y$ , dus de gevraagde oppervlakte is gelijk aan 28 vierkante centimeter.

Nootje 37

Geplaatst op 11 juni 2023 door admin

Antwoord

Vermoedelijk een toepassing op de stelling van Pythagoras….
Men kan gemakkelijk bewijzen dat
$|PD|^2+|PB|^2=|PA|^2+|PC|^2$
Dit resultaat wordt weleens de stelling van de Britse vlag genoemd, naar de vergelijking met de Union Jack
Voor ons probleem is dus $x^2+4=36+49$ , dus is $x=9$ .

Een gouden driehoek

Geplaatst op 2 juni 2023 door admin

Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat $\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$ . De bedoelde verhouding $\frac{a}{b}$ noemt men het gulden getal en noteert men met $\varphi$ . Het oplossen van de gegeven vergelijking geeft:

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$

Waar kunnen we in een driehoek dit gulden getal zien?

Neem een gelijkbenige driehoek met basishoeken van $72^\circ$ :

De hoogtelijn uit C verdeelt de overstaande zijde in twee gelijke stukken en de tophoek in twee gelijke hoeken. Zo een halve tophoek meet dan $x=18^\circ$ . Dan is $5x=90^\circ$ en $2x=90^\circ-3x$ . Bijgevolg is $\sin 2x=\cos 3x$ . Gebruiken we nu formules voor de dubbele en drievoudige hoek: $2\sin x\cos x=4\cos^3x-3\cos x$ .
Vermits $\cos x\neq 0$ , kunnen we beide leden delen door $\cos x$ en als we dan de grondformule van de goniometrie toepassen, vinden we