Maandelijks archief: mei 2023

Nootje 36

Geplaatst op door

Vind alle niet complexe oplossingen van

    \[(2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10\]

Antwoord

  • Alles uitrekenen geeft een vierdegraadsvergelijking, die waarschijnlijk niet op te lossen is.
  • We gaan de factoren in het linkerlid twee per twee uitrekenen: de eerst met de laatste en de twee middelsten.
  • De opgave wordt dan:  (15x^2+8x+1)(60x^2+32x+1)=10.
  • We merken op dat de twee eerste termen van de tweede factor het viervoud zijn van de eerste twee termen van de eerste factor. Stel 15x^2+8x=y
  • We krijgen dan (y+1)(4y+1)=10 of na uitwerken 4y^2+5y-9=0.
  • Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossingen 1 en -2,25.
  • Vervangen we y terug dan verkrijgen we twee vergelijkingen van de tweede graad. De eerste 15x^2+8x-1=0 geeft als oplossingen \frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}.
  • De tweede vergelijking wordt 15x^2+8x+2,25=0 en deze heeft geen reële oplossingen.
  • De enige niet complexe oplossingen zijn dus

        \[\frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}\]

Demerbroeken wandeling

Geplaatst op door

De Demerbroeken vormen een uitgestrekte brok natuur in de brede vallei van de Demer, tussen Testelt, Zichem, Averbode en Diest. Je doorkruist er een ongerept overstromingsgebied. Het Agentschap voor Natuur en Bos werkt samen met Natuurpunt aan de uitbouw van een uitgestrekt natuurreservaat met rietruigten, afgewisseld met soortenrijke hooilanden en inheems loofbos. Op de Voortberg geniet je van een prachtig panorama.

Volg de knooppunten van het Wandelnetwerk de Merode, voor een wandeling van ongeveer 9 km. Start aan de molen van Testelt.

Nootje 35

Geplaatst op door

Zoek een getal van 6 cijfers dat begint en eindigt met een 2 en het product is van 3 opeenvolgende even getallen.

Antwoord

  • Even getallen eindigen steeds op 0,2,4,6 of 8.
  • Het product van drie opeenvolgende even getallen eindigt dan op 0*2*4, 2*4*6, 4*6*8 of 6*8*0.
  • Enkel de combinatie 4*6*8 eindigt dus op een 2.
  • Nu is 50^3=125000 en 60^3=216000.
  • Bijgevolg zijn de getallen: 64,66 en 68 en hun product is 287232.

Nootje 34

Geplaatst op door

Bereken de som van de coëfficiënten van de veelterm P(x) als

    \[(10x^{34}+2x^3+5)P(x)=2023x^{2023}\]

Antwoord

  • Het is handig te weten dat de som van de coëfficiënten van een veelterm kan berekend worden door de getalwaarde van 1 te berekenen, dus P(1).
  • Vullen we 1 in bij de gegeven identiteit, dan vinden we: (10+2+5)P(1)=2023;
  • Hieruit volgt dat P(1)=119
  • De som van de coëfficiënten van de veelterm Px) is dus 119.

Nootje 33

Geplaatst op door

Vind x-y als gegeven is dat x^4=y^4+24, x^2+y^2=6 en x+y=3.

Antwoord

  • Om de 2 onbekenden x en y uit te rekenen heb je eigenlijk maar 2 vergelijkingen nodig. Dan kan je ook x-y uitrekenen. Maar waarschijnlijk is dat wel niet de bedoeling.
  • Omdat x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2), vinden we uit de eerste betrekking dat 24=(x-y)*3*6;
  • Hieruit volgt dan dat x-y=\frac{4}{3}.