Maandelijks archief: januari 2023

Paardenrondgang

Geplaatst op door

Een paardenrondgang is een route bestaande uit paardensprongen op een schaakbord zodat elk veld van het schaakbord juist 1 keer wordt aangedaan.

De oude Arabieren konden dit al: Al-Adli, uit een manuscript uit het jaar 840

Een andere vastgelegde paardenrondgang is een oplossing  uit 1733 van de Franse wiskundige Lemoivre.  Speciaal was de oplossing van Euler . Hij
presenteert een opgevuld schaakbord met een rondgang waarvan de op volgorde genummerde sprongen op het bord ook een (half)magisch vierkant voorstellen met de magische som 260 (de som op de diagonalen klopt niet)

Deze rondgang was niet gesloten, met andere woorden eind en beginpunt vallen niet samen. Dat dit wel kon , liet in 1849 een Hongaar, Wenzelides zien: 

 

Er zijn wel  honderdzes biljoen verschillende gesloten paardronden. In augustus 2003 werd bekend dat de Fransman Meyrignac een 156 jaar oud wiskundig probleem had opgelost; dat van de ‘volledig magische paardronde’. Een door hem afgerichte supercomputer kwam er na 61 dagen rekenen achter dat die paardronde niet bestaat.

 

Van wie is Taiwan?

Geplaatst op door
  1. Taiwan, ook wel republiek China genoemd,  (qua oppervlakte tussen België en Nederland) hoorde ten tijde van het keizerrijk al bij China. De band tussen het vasteland en het eiland was van meet af aan erg los. Taiwan stond vroeger ook bekend als Formosa.  In 1583 voer een Portugees schip langs het eiland en  de kapitein van het schip noemde het eiland Ilha Formosa (Portugees, prachtig eiland).
  2. In 1622 vestigden de Nederlanders (Verenigde Oost-Indische  compagnie) zich op het eiland om er een overslagpunt van te maken vol hun handelsroutes tussen Nederlands-Indië en China en Japan. Het eiland werd niet bezet, maar er werd samengewerkt met de plaatselijke dorpshoofden en het bestuur werd geregeld vanuit Fort Zeelandia.

  3. Heel lang regeerden de Ming-keizers over China, maar rond 1644 moeste ze zich terugtrekken uit hun hoofdstuk Peking en het keizerschap laten aan de Qing. Alleen in het zuiden konden de Ming zich handhaven. Op Taiwan hoopten ze beter beschermd te zijn tegen de aanvallen van hun tegenstrevers. Zheng Chenggon veroverde het eiland en voor het eerst heerste er een chinees over Taiwan. In 1682 veroveren de Qing  het eiland en beginnen het te koloniseren. meer dan 200 jaar maakt het deel uit van hun keizerrijk.

  4. In 1895 wint Japan de eerste Chinese-Japanse oorlog en Taiwan wordt onder Japans bestuur geplaatst.  De Taiwanezen nemen ook geen deel aan de revolutie op het Chinese vasteland, waarbij Sun Yat-sen met zijn Quomintang-partij een einde maakte aan het Chinese keizerrijk, om in de plaats daarvan de Chinese republiek uit te roepen. 
    De Japanners brachten wel de infrastructuur, landbouw en industrie tot ontwikkeling. De productiviteit was er veel hoger dan op het Chinese vasteland. Ook hun gezondheidszorg was veel beter.

  5. Na de Japanse nederlaag in de tweede wereldoorlog, werd op de conferentie van Cairo (1943) beslist door Roosevelt,Churchill en Chang-Kai-shek tot de teruggave van Taiwan aan China.


    Op 28 februari 1947 brak er grote onrust uit in Taiwan nadat een burger was neergeschoten. De protesten die volgden gingen door tot in maart maar werden hardhandig neergeslagen nadat troepen vanuit China aankwamen in Taiwan die de onrust moesten stoppen. Zo’n 28.000 Taiwanezen werden vermoord, het wordt nu herdacht als het 228 incident.

Vlak na de Tweede Wereldoorlog werd de nationalistische Chinese regering, onder leiding van Chang-Kai-shek bestreden door de communisten onder leiding van Mao.  Uiteindelijk verdreven de communisten hun tegenstanders van het vasteland van China naar Taiwan. Toen werd China een communistische Volksrepubliek. Taiwan bleef echter in handen van de Republiek China. Chang-Kai-shek  zou tot aan zijn dood in 1975 Taiwan als een dictator besturen. Pas in 1987 wordt de noodtoestand opgeheven en stelt de Kuomintang zich open voor de eilandbewoners en voor democratie. In 1992  worden de eerste vrije verkiezingen gehouden. Taiwan wordt een presidentiële democratie.

De DPP krijgt in 2016 zijn eerste staatshoofd: Tsai Ing-wen  . Zij hamert, meer nog dan haar voorgangers, op de onafhankelijkheid van Taiwan. Haar tegenstrevers, de Kuomintang en de maoïsten, hameren echter op de onverbrekelijke band met het vasteland. De DPP ziet die speciale band met China niet. Zij eist dat Peking zich onthoudt van enige inmenging in Taiwanese aangelegenheden.

 

Andere dobbelstenen

Geplaatst op door

Iedereen kent deze klassieke dobbelsteen. Nemen we nu twee van dergelijke dobbelstenen en berekenen we de som van het aantal ogen: 

De vraag is nu: kunnen we geen ander stel van dobbelstenen vinden die dezelfde verdeling geeft?

  • We stellen onze gewone dobbelsteen voor door

        \[x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x\]

    Je leest deze veelterm als: er is 1 kant met 6stippen, 1 kant met 5 stippen,…
  • Wanneer je nu met 2 dobbelstenen gooit, voer je eigenlijk het product uit van die veelterm met zichzelf en krijg je dus (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)^2=x^{12}+2x^{11}+3x^{10}+...+x^2 Je leest in deze uitkomst dan volledig het bovenstaande schema.
  • Noem nu het gezochte stel andere dobbelstenen door f(x) en g(x).
  • We willen dat f(x).g(x)=x^{12}+2x^{11}+3x^{10}+...+x^2 .
  • De ontbonden vorm van de veelterm in het rechterlid is

        \[x^2(x+1)^2(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2\]

  • Hieruit volgt dat we opzoek moeten naar een a,b,c en d  zodat

        \[f(x)=x^a(x+1)^b(x^2+x+1)^c(x^2-x+1)^d\]


    g(x)=x^{2-a}(x+1)^{2-b}(x^2+x+1)^{2-c}(x^2-x+1)^{2-d}
  • Omdat we zes zijvlakken hebben moet f(1)=6 , dus moet 2^b3^c=6 of b=c=1
  • Verder kan a zeker niet nul zijn want dan zou f(0) niet 0 zijn. En dus kan a ook niet 2 zijn. Bijgevolg is a=1.
  • Voor d=1 krijgen we de klassieke dobbelstenen.
  • Nemen we d=0, dan is f(x)=x(x+1)(x^2+x+1)=x^4+2x^3+2x^2+x. Dis geeft een dobbelsteen met op de zijvlakken 4/3/3/2/2/1
  • De andere dobbelsteen geeft dat g(x)=x(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2=x^8+x^6+x^5+x^4+x^3+x of een dobbelsteen met op de zijvlakken 8/6/5/4/3/1.
  • Hier zie je dat de verdeling inderdaad hetzelfde is tussen de 2 sets van dobbelstenen.

 

Sangaku 12

Geplaatst op door

 

Antwoord

  • We veronderstellen dat hier een regelmatige zevenhoek getekend staat. Dus er gaat een cirkel door de zeven punten 
  • We zoeken naar een verband tussen a, b en c
  • Beschouw de koordenvierhoek ACDE
  • Daarin zijn |AD|=|AE|=c, |AC|=|CE|=b en |CD|=|CE|=a.
  • Gebruiken we de stelling van Ptolemaeus in deze vierhoek: het product van de diagonalen is de som van de producten van de overstaande zijden:

        \[bc=ab+ac\]

  • Delen door abc geeft uiteindelijk :

        \[\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\]

Omar Khayyam

Geplaatst op door

Omar Khayyam werd geboren op 8 mei 1048 in Nisjapoer, Perzië. Voor hij 25 werd, had hij al belangrijke wiskundige werken geschreven. Rond 1070 verhuisde hij naar Samarkand, in het huidige Oezbekistan. Daar schreef hij zijn bekendste werk Verhandeling over de oplossing van algebraproblemen. 

Daarin ontwierp hij een volledige theorie voor het oplossen van derdegraads vergelijkingen, gebaseerd op het vinden van snijpunten van kegelsneden zoals de hyperbool en de cirkel. Het is opmerkelijk dat hij slechts 1 of 2 van de 3 mogelijke oplossingen vond. Zijn oplossingen waren meetkundig, maar Khayyam hoopte dat er ooit een rekenkundige oplossing zou worden gevonden. Dit gebeurt vele eeuwen later in het werk van de Italiaanse wiskundigen Del Ferro, Tartaglia en Ferrari.

In 1073 nodigde Malik-Sjah, de sultan van de Seltsjoekdynastie, Khayyam uit in de stad Isfahan om een observatorium op te zetten. Hij bleef 18 jaar in Isfahan, maakte astronomische tabellen en werkte aan een  nieuwe opzet van de kalender, de Jalalikalender. Hij berekende de lengte van een jaar als 365,242198dagen, wat zeer nauwkeurig was.

Na de dood van Malik-Sjah verhuisde hij naar Merv( in het huidige Turkmenistan) waar hij op 4 december 1122 overleed. Khayyam is waarschijnlijk het meest bekend door de gedichtenbundel  Rubaiyat, een verzameling van 600 kwatrijnen.

Verder is vermeldenswaard dat Omar Khayyam commentaren heeft geschreven op het beroemde boek “De Elementen” van Euklides, waarin hij de aannames (de vijf beroemde postulaten) besprak. Daarbij poogde hij onder andere het beroemde ‘parallellenpostulaat’ (Door een punt buiten een lijn gaat slechts één lijn die evenwijdig is aan de gegeven lijn.) te bewijzen vanuit de andere aannames. Daarbij bewees hij zonder zich daarvan bewust te zijn enkele stellingen uit de niet-euklidische meetkunde