Maandelijks archief: oktober 2022

Mooiheid van getallen

Geplaatst op door



De teller van elke breuk van je schrijven als n*111=n*3*37. Hierbij kan n elke waarde uit \{1,2,\cdots,9\} aannemen.

De noemer van elke breuk is dat n+n+n=3*n

Bijgevolg is elke breuk gelijk aan \frac{n*3*37}{3*n}=37.

 

Een wandeling

Geplaatst op door

Tijdens een wandeling met zijn vrouw langs het Royal Canal in Dublin realiseerde William Rowan Hamilton dat hij de veralgemening van complexe getallen naar de driedimensionale ruimte, had gevonden. Hij was hierover zo opgetogen dat hij dit in een steen op de Brougham Bridge kerfde.

Hij had de quaternionen ontdekt.

Zij zijn geschikt voor de beschrijving van een rotatie in de driedimensionale ruimte die twee congruente voorwerpen in elkaar doet overgaan. Als dusdanig kunnen ze gebruikt worden bij videogames ( zoals bvb Tomb Raider)

Verwachtingswaarde

Geplaatst op door

Hoeveel keer moet je gemiddeld een eerlijk muntstuk opgooien om 5 keer na elkaar kop te krijgen?

Antwoord

  • Noteer met e de gezochte verwachtingswaarde van het aantal keer opgooien. We noteren K voor kop en M voor munt.
  • Stel dat je bij de eerste poging M gooit. Hiervoor heb je \frac{1}{2} kans. Dan heb je nog steeds geen enkele keer K gehad en dus moet je gemiddeld nog e+1 keer opgooien voordat je er bent. Die 1 komt van de poging die je al hebt ondernomen.
  • Heb je eerst K en dan M, en daartoe heb je \frac{1}{4} kans, dan moet je weer van vooraf aan beginnen en heb je gemiddeld e+2 pogingen nodig. De 2 staat er omdat je al 2 keer gegooid hebt( KM) en dan helemaal opnieuw moet beginnen. 
  • Werk zo verder de gevallen KKM ,KKKM,KKKKM en KKKKK af
  • Ga zo verder en dan krijg je volgende vergelijking :
    e=\frac{1}{2}(e+1)+\frac{1}{4}(e+2)+\frac{1}{8}(e+3)+\frac{1}{16}(e+4)+ \frac{1}{32}(e+5)+\frac{1}{32}.5
  • Oplossen van deze vergelijking geeft e=62.

Soemerië : vroeg-dynastieke periode (2900-2334 V.C.)

Geplaatst op door

In het vroege derde millennium kreeg Uruk concurrentie van ondermeer Kish, gelegen in het noorden van Soemer. De steden in het zuiden werden herhaaldelijk getroffen door overstromingen. Deze vormden trouwens de inspiratie van veel zondvloed verhalen.

in deze periode ontstond een nieuwe klasse van grootgrondbezitters. Net als de tempels bezaten ze veel landbouwgrond en hadden ze veel mensen in dienst. men noemden hen lugals( grote mannen).

Omdat hun bedienden al het werk deden, hadden de lugals tijd om zich met andere dingen ( zoals oorlog voeren) bezig te houden. Omdat de bevolking fors toenam, was het onvermijdelijk dat er meer en meer grensconflicten werden uitgevochten op het slagveld. Elke lugal nam een een aantal van zijn mannen mee en soms werd één van hen als een soort opperbevelhebber aangeduid. De legendarische Gilgamesh van Uruk was waarschijnlijk één van hen.

In de loop van het derde millennium bleef Soemer verdeeld onder verschillende stadstaten . De lugals waren weinig meer dan opperbevelhebbers. De hogepriester bleef het ‘staatshoofd’. Ondanks hun gebrek aan politieke eenheid groeide wel het besef van culturele eenheid: de beschermgoden van de verschillende stadstaten kregen een vaste plaats in het pantheon. Enlil, die vereerd werd in Nippur, werd aangewezen als oppergod.

De Soemerische koningslijst, die veel later werd opgesteld, is een belangrijke bron van informatie over  deze tijd. Vermelden we ondermeer volgende heersers:

  • Enmebaragesi van Kisj, die vocht tegen Elam.
  • Urakagina van Lagash:hij voerde veel hervormingen in en presteerde zich als een rentmeester die in de naam van de goden het bewind voerde over de landgoederen. Dit idee van goed rentmeesterschap was zeer belangrijk in de Soemerische traditie. 
  • Meshannepada, vorst van Ur, stichtte de eerste dynastie van Ur. De koningsgraven zijn een mooi bewijs hoe welvarend Ur wel was.
    Er waren zeer heel intensieve handelsactiviteiten met streken buiten hun grondgebied( Mari, Terqa, Ebla, Assur, Tell Brak)
  • Eannatum van Lagash. bekend is zijn overwinning op Umma, herdacht op de gierenstèle.
  • Lugal-Zagesi van Umma werd de eerst absolute heerser over de vruchtbare Halvemaan, met een grondgebied dat de hele Mesopotamische vlakte besloeg. Alhoewel die zeggenschap niet echt reëel was, vermits het merendeel van de stadstaten gehecht was aan hun onafhankelijkheid.

Geleidelijk aan ontstond er naast de tempel ook een ander gebouw: het paleis. tempel en paleis vormden een tweekoppige macht die de Soemerische geschiedenis lang zou kenmerken. 

 

Nootje 29

Geplaatst op door

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

  • Noem de veelterm P(x).
  • Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10). 
  • Neem een voorbeeld als test: P(x)=x^3+4x+8 . Dan is P(10)=10^3+4*10+8=1048. In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
  • Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig. 
  • De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat P(1)<10^k. Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan 10^k.
  • De tweede evaluatie is dan P(10^k).
  • Testje? Neem P(x)=12x^3+145x+88. dan is P(1)=245<10^3. Neem k=3 en bereken P(10^3). Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van k=3 cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.