Maandelijks archief: december 2021

Geschiedenis van de kansrekening

Geplaatst op door

Waarschijnlijk zijn de eerste wiskundige discussies over kansen ontstaan bij gokkers uit de 17de eeuw die zich vragen stelden over spelletjes met dobbelstenen en speelkaarten. Deze gokkers vroegen raad aan de Franse wiskundige Blaise Pascal(1623-1662), die op zijn beurt hierover correspondeerde met Pierre de Fermat(1601-1665).

Ze gebruikten combinatorische methoden om sommige van deze vraagstukken op te lossen. In 1657 verscheen van de Nederlander Christiaan Huygens (1629-1695) het boek De Ratiociniis is Alea Ludo. Dit boek werd beschouwd als eerste invloedrijk werk over kansrekenen.

Kolmogorov

Geplaatst op door

Andrei Nikolaevitch Kolmogorov ( 1903-1987) was een Russisch wiskundige. Op 17-jarige leeftijd begon hij zijn studies aan de staatsuniversiteit van Moskou. Zijn eerste onderzoeksresultaten verkreeg hij in de verzamelingenleer en de theorie van de Fourierreeksen.

In 1925 behaalde hij zijn graag aan de faculteit fysica en wiskunde. Via een samenwerking met Khinchin( 1894-1959)  groeide zijn interesse in de kanstheorie en in 1929 publiceerde hij voor het eerst een axiomatische opbouw van deze discipline. De resultaten verschenen in grundbegriffe der Warscheinlichkeits-rechnung ( Ergernis der Mathematiek,Berlin,1933).

In 1931 werd hij professor aan de universiteit. Naast de grondslagen van de kanstheorie leverde hij ook belangrijke bijdragen aan het bewijs van de sterke wet van de grote aantallen, Markovprocessen en partiële differentiaalvergelijkingen. Hij was ook erg begaan met het schrijven over onderwijs in het algemeen en over wiskunde-onderwijs in het bijzonder. Hij richtte een school op voor kinderen met een bijzondere begaafdheid voor wiskunde. In 1940 kreeg hij de Sovjet Staatsprijs voor zijn onderzoek in de theorie van de stochastische processen en later in 1965 kreeg hij voor zijn werk de Leninprijs, de hoogste onderscheiding in de Sovjetunie.

Waaruit bestaat nu die axiomatische opbouw? Als U de uitkomstenverzameling is van een kansexperiment, dan is wordt een kansfunctie P  gedefinieerd door volgende 3 axioma’s:

  • Het is een functie op de verzameling deelverzamelingen (gebeurtenissen) van U die met elke gebeurtenis een getal groter of gelijk aan nul associeert.
  • De  kansfunctie P beeldt U af op 1, m.a.w. P(U) = 1.
  • De kansfunctie beeldt de unie van twee gescheiden gebeurtenissen af op de som van de beelden van elke gebeurtenis: P(A of B) = P(A) + P(B) ( tenminste als A en B geen elementen gemeen hebben)

Een spirograaf

Geplaatst op door

 

Een spirograaf is een instrument dat gebruikt wordt om geometrische figuren te tekenen. De spirograaf werd bedacht door Denys Fisher ( 1918-2002), een Engelse ingenieur. Het instrument bestaat uit een aantal tandwielen en een aantal andere voorwerpen, zoals ringen, driehoeken, rechte strips, ook voorzien van vertanding langs de rand (en in geval van de ringen ook langs de binnenkant). De onderdelen kunnen met spelden op de ondergrond worden vastgeprikt en andere onderdelen kunnen door middel van de vertanding langs een vastgeprikt voorwerp rollen. In de onderdelen bevinden zich diverse gaatjes waardoor een potlood of pen met dunne punt kan worden gestoken. Door de stralen van de schijven en de positie van het gaatje te variëren kunnen tal van patronen worden vervaardigd.

Door de stralen van de schijven en de positie van het gaatje te variëren kunnen tal van patronen worden vervaardigd.

Een getal raden

Geplaatst op door

Schrijf in Python een programma dat zelf een getal kiest tussen 1 en 100. Jij moet raden welk getal het is. de computer geeft enkel aan of je lager of hoger moet gokken.

Een paar opmerkingen:

  • input geeft steeds een string-variabele. Vandaar de toevoeging int om hiervan een geheel getal te maken.
  • randint(1,101) geeft een geheel getal tussen 1 en 100. Lett op je moet dus 1 getal hoger geven: 101
  • != betekent is niet gelijk aan bij een test.

Een mogelijke output :

Som van opeenvolgende getallen

Geplaatst op door

Op hoeveel manier kan je, bijvoorbeeld, 45 schrijven als som van opeenvolgende getallen? 

  • We stellen een formule op om de som van opeenvolgende getallen te berekenen. Stel n=m+(m+1)+\dots+(m+k-1). Hier bij is n de som, m het eerste getal en k het aantal getallen in die som.
  • Om die som te berekenen kan je de formule voor de som van de termen van een rekenkundige rij gebruiken: n=\dfrac{1}{2}k.(m+m+k-1).
  • Hieruit volgt:

        \[2n=k(2m+k-1)\]

  • Als k even is dan is 2m + k –  oneven en omgekeerd als k oneven is dan is 2m + k – 1 even. Bovendien is k kleiner dan 2m + k  – 1.
  • We moeten 2n dus schrijven als een product van een even getal en een oneven getal. De kleinste van die 2 factoren is k en dat is het aantal termen in de som.
  • Ontbinden we n in priemfactoren: n=2^r.p_1^{r_1}.\cdots .p_s^{r_s}. En dan is 2n=2^{r+1}.p_1^{r_1}.\cdots . p_s^{r_s}. Hierbij zijn p_i verschillende (oneven) priemgetallen. Dit moeten we dan schrijven als product van een oneven en even getal
  • Noteer S(n) het aantal mogelijkheden om n te schrijven als een som van opeenvolgende getallen, dan is het duidelijk dat

        \[S(n)=(r_1+1).\cdots.(r_s+1)-1\]

  • Terug naar ons voorbeeld n=45. dan is 2n=90=2.3^2.5^1 en is S(45)=(2+1)(1+1)-1=5. We kunnen 45 op 5 manieren schrijven als som van opeenvolgende getallen.
  • Hoe vinden we nu die sommen? We kunnen eerst m berekenen uit 2n=k(2m+k-1):  m=\dfrac{1}{2}(n-k+1) en we nemen k opeenvolgend als 2,3,5,6,9. Dit geeft:
  • \begin{array}{c|c|c} k&m&\text{som}\\ \hline 2&22&22+23\\3&14&14+15+16\\5&7&7+8+9+10+11\\6&5&5+6+7+8+9+10\\9&1&1+2+3+4+5+6+7+8+9\end{array}