Maandelijks archief: oktober 2021

Grieks wiskunde : deel 8

Geplaatst op door

Apollonius van Perga (262-180 v.C.) is na Euclides en Archimedes, de derde en laatste grote Griekse wiskundige.

Hij is de auteur van de beroemde verhandeling in 8 delen : de Konica, over kegelsneden. Hierin definieert hij de kegelsneden als vlakke doorsneden van kwadratische kegels en ontwikkelt hij, in een klare en zuiver meetkundige stijl, een studie van deze krommen.

Gebruik makend van methodes van de meetkundige algebra, stelt hij de kegelsneden voor door hun zogenaamde symptoom . Voor ons betekent dit niet minder of meer een carthesische vergelijking. Het hoeft ons dan ook niet te verwonderen dat dit werk van Apollonius aan de basis ligt van latere studies van Descartes en Fermat, waaruit de moderne analytische meetkunde is ontstaan.

9801

Geplaatst op door

Mooie decimale schrijfwijze! Kan je dit verklaren?

Nu is \frac{1}{99}=0,01010101...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{100}. Verder is \frac{1}{9801}=\Big(\frac{1}{99}\Big)^2.

Je kan gemakkelijk narekenen dat

    \[\Big(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\Big)^2=x.\sum_{n=1}^{\infty}nx^n\]

Vervangen we nu hierin x door \frac{1}{99}, dan krijgen we de gewenste decimale schrijfwijze. Maar waarom ontbreekt hierin de 98?

In de uitwerking staan de som \frac{98}{100^{98}}+\frac{99}{100^{99}}\frac{100}{100^{100}}=\frac{1}{100^{100}}(980000+9900+100)=\frac{99}{100^{98}}. 

Wat gebeurt er met \frac{1}{998001} en \frac{1}{99980001}?

Nog 2 opgaven over priemgetallen

Geplaatst op door

De som van twee tweelingpriemen, groter dan 3, is deelbaar door 12.

Antwoord
  • Veronderstel dus dat p>3 en dat  p en p+2 allebei priem zijn.
  • Hun som is dan S=2(p+1).
  • Omdat p oneven is , is p+1 even en is S dus zeker al deelbaar door 4.
  • p kan geen drievoud zijn. Het kan evenmin van de vorm 3k+1 zijn , want anders zou p+2=3(k+1) en dus niet priem zijn.
  • Bijgevolg is p van de vorm 3k-1 en dan is S=6k. Dus is S deelbaar door 3 en samen met een vorig resultaat is S dus deelbaar door 12.

Veronderstel dat p een priemgetal is en dat allebei de oplossingen van x^2+px-444p=0 gehele getallen zijn, zoek dan de mogelijke waarden van p.

 

Antwoord

 

  • De discriminant van de gegeven vergelijking is p^2+4*444p.
  • Als de vergelijking gehele oplossingen moet hebben moet  dit zeker een volkomen kwadraat zijn , dus is er  een gehele q met q^2=p^2+4*444p=p(p+4*444).
  • Vermits hierboven p een deler is van het rechterlid en omdat p priem is moet p ook een deler zijn van q en dan kunnen we schrijven dat q=p.r, met r een geheel  getal.
  • Ingevuld vinden we zo dat p(p+4*444)=p^2r^2 of pr^2=p+4*444.
  • Hieruit volgt dat p een deler moet zijn van 4*444. De mogelijke waarden voor p zijn dan 2, 3 en 37. 
  • We kunnen p = 2 of  p = 3 in de oorspronkelijke vergelijking en we zien dat er dan geen gehele oplossingen zijn. Wel bij p=37.
  • Er is dus slechts 1 oplossing, namelijk p = 37.

2 opgaven over priemgetallen

Geplaatst op door

Als p,q en r priemgetallen zijn groter dan 3, bewijs dan dat p^2+q^2+r^2 geen priemgetal is.

Antwoord
  • Elk priemgetal x is van de vorm 3k\pm 1.
  • Dan is x^2 van de vorm 3l+1. 
  • De som van 3 priemgetallen is dan : p^2+q^2+r^2=3l+1+3n+1+3m+1=3(l+m+n+1).
  • Dus is p^2+q^2+r^2  niet priem.

Als 2^k+1 een priemgetal is, dan is k een macht van 2. Bewijs.

Antwoord
  • Stel dat k geen macht van 2 is, dan is k=n.2^q, waarbij n zeker oneven is.
  • Nu is A= 2^k+1=2^{n.2^q}=\Big(2^{(2^q)}\Big)^n+1.
  • Algemeen geldt er dat , bij oneven n, x^n+1 steeds deelbaar is door x+1.
  • Bijgevolg is A deelbaar door 2^{(2^q)}+1 en hebben we een tegenspraak.
  • Dus is k wel een macht van 2.