Maandelijks archief: juni 2021

Griekse wiskunde: deel 5

Geplaatst op door

De Hellenistische periode ( 4de -1ste eeuw v.C.) was  het tijdperk waarin het oude Griekenland op zijn hoogtepunt was vanaf de veroveringen door Alexander de Grote tot de Romeinse verovering van Griekenland en het oude Nabije Oosten (334–30 v.Chr.).

De Griekse cultuur verspreidt zich over alle oosterse landen, verrijkt zich aan de Egyptische en Babylonische beschavingen, bereikt nieuwe toppen en deint dan langzaam uit. De nieuwe centra van deze Hellenistische cultuur worden Alexandrië, Seleucia en Syracuse.

De oude schrijfwijze van de getallen ( die van de zelfde aard was als de latere Romeinse) wordt in de derde eeuw v.C. vervangen door een systeem van lettergetallen, dat van Fenicische oorsprong is. De gebruikte tekens zijn de 24 letters van het klassiek-Griekse alfabet, aangevuld met drie oude letters: digamma, koppa en sampi.

De letters worden gevolgd door een accent opdat men ze niet zou verwarren met de letters die woorden vormen. Om duizendtallen aan te duiden plaatst men een accent onderaan links van de letter, die het aantal duizendtallen aangeeft.

Om ook getallen groter dan 10000 te kunnen schrijven, stelt Appolonius  voor de letter M te plaatsen na de tekens die het aantal tienduizendtallen aanduiden. Zo kunnen uiteindelijk alle getallen tot 99999999 worden voorgesteld. Nochtans steekt de complexiteit van deze vernieuwde Griekse schrijfwijze schril af tegen de eenvoud van het bijna positionele stelsel van de Babyloniërs.

De voorstelling van de breuken is zo mogelijk nog ingewikkelder: enerzijds worden de stambreuken zoals 1/3, 1/4,..; aangeduid met de lettertekens voor 3,4,.. gevolgd door een dubbel accent; anderzijds noteert men een gewone breuk zoals 5/7  met behulp van een streep boven het noemer gedeelte. Deze streep is misschien wel de voorloper van onze breukstreep, zoals ze later door de Arabieren wordt ingevoerd.

De romeinse veroveraars nemen uiteindelijk deze Griekse schrijfwijze niet over.

 

Marginale kosten

Geplaatst op door

De marginale kostprijs, dit is de kostprijs om de productie van n stuks per dag op te voeren met 1 eenheid, wordt gegeven door

    \[M(n)=10000-2n+0,004n^2\]

Bereken de meerkost,  genoteerd met M(n,m),  om de productie op te voeren van 400 naar 450 stuks.

Noteer met K(n) de totale kostprijs voor de productie van n stuks per dag. De marginale kostprijs op niveau n is dan

    \[M(n)=K(n+1)-K(n)\]

We weten dus dat K(n+1--K(n)= 10000-2n+0,004n^2. Dit is een recursievergelijking. Eigenlijk is dit de discrete tegenhanger van het begrip afgeleide. Het is dus niet onredelijk te veronderstellen dat K(n) een derdegraadsveelterm is. Noteer K(n)=a+bn+cn^2+dn^3. Invullen is de recursievergelijking geeft de oplossingen voor a,b,c en d. We vinden b = 10001,00067; c = -1,001 en c = 0,0013333.

Dan is M(400,450) = 493632.

Python probleem 2

Geplaatst op door

Bereken de som van alle oneven Fibonacci getallen kleiner dan 4 miljoen.

Antwoord

  • De rij van Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,.. De rij begint met twee enen en daarna is elke term gelijk aan de som van de vorige twee termen.
  • Een eerste idee: bereken elke term , controleer of het even is en tel op bij een gegeven teller. 
  • Omdat de rij gegeven wordt door een recursief voorschrift, is het gebruik van een functie Fibonacci(n) niet zo interessant . Immers worden telkens alle vorige termen opnieuw uitgerekend.
  • We kunnen beter werken met 3 termen van de rij en dan doorschuiven:a=1;b=1en c=a+b.Daarna geven we de waarde van b aan a en de waarde van c aan b en berkenen opnieuw a+b

 

 

Nootje 21

Geplaatst op door

Hoeveel natuurlijke getallen van drie cijfers bestaan er die bij deling door 20,50 en 70 dezelfde rest laten.

 

Antwoord

 

 

  • De mogelijke rest moet uiteraard een natuurlijk getal zijn kleiner dan 20, dus behorend tot {0,1,2,…,19}.
  • Het kleinste gemene veelvoud van 20,50 en 70 is 700.
  • Voor elke rest r uit {0,1,2,…,19} is er juist 1 getal van de vorm 700 + r die bij deling door 20,50 en 70 dezelfde rest r overlaat. 
  • Bijgevolg zijn er juist 20 getallen van drie cijfers die voldoen aan de gegeven voorwaarde: 700,701,…,719

 

Quipu

Geplaatst op door

Het eerste schrift in de geschiedenis was geen volledig schrift. Een volledig schrift is een systeem van tekens dat gesproken taal min of meer kan weergeven. Een gedeeltelijk schrift daarentegen is een systeem van tekens dat alleen bepaalde soorten informatie kan weergeven. De Inka’s hadden zo een gedeeltelijk schrift. Het werd niet geschreven op kleitabletten ( zoals het Soemerische schrift) of stukjes papier, maar geknoopt op kleurrijke koordjes die quipu’s heetten.

In elke koord werden op verschillende plaatsen knopen gelegd. Eén quipu kon honderden koordjes bevatten. Door combinaties van verschillende knopen in verschillende koorden in verschillende kleuren konden grote hoeveelheden rekenkundige gegevens vastgelegd worden over bijvoorbeeld belastinginning en eigendomsrechten.