Principe van Cavalieri

Bonavatura Cavalieri ( 1598 – 1647) was een Italiaanse wiskundige. Hij is bij ons vooral gekend om het volgende principe: 

Twee objecten met dezelfde hoogte en met, op elke niveau , een dwarsdoorsnede met dezelfde oppervlakte, hebben een gelijk volume.

Zo kan men bijvoorbeeld  de inhoud van een bol bepalen:

Links zie je een halve bol met straal r en rechts een cilinder met straal r en hoogte r, waaruit een kegel gehaald is. De dwarsdoorsnede op een hoogte x boven het vlak P voor de linkse figuur  is een schijf met straal \sqrt{r^2-x^2}. De oppervlakte is dus \pi(r^2-x^2). De dwarsdoorsnede van de rechtse figuur is een ring begrensd door  twee cirkels met stralen r en x. De oppervlakte is \pi r^2-\pi x^2. Volgens het principe van Cavalieri hebben beide figuren dus hetzelfde volume. De inhoud van een halve bol is dus \pi r^2.r -\frac{1}{3} \pi r^2.r=\frac{2}{3}\pi r^3 en dus is de inhoud van een  bol gelijk aan \frac{4}{3}\pi r^3.

Het principe kan ook toegepast worden op de oppervlakte van vlakke figuren te berekenen. Zo is  de oppervlakte van een rechthoek met breedte b en hoogte h gelijk is aan die van een parallellogram met basis b en hoogte h, want elke dwarsdoorsnede heeft dezelfde lengte bij rechthoek en parallellogram.

Sangaku 5

Deze sangaku werd beschreven op een tablet van de Miyagi Prefecture uit 1912

 

Antwoord

Voetbal

 

Op een voetbal komt een netwerk van bogen voor, die de oppervlakte van de bal verdelen in een aantal gebieden. Sommige van die gebieden worden door vijf bogen begrensd en zijn dus vijfhoekig van vorm; de rest van de gebieden is zeshoekig. Bij elk knooppunt van het netwerk komen drie gebieden samen; twee daarvan zijn zeshoekig en het derde is vijfhoekig. De vijfhoekige gebieden zijn zwart en de zeshoekige zijn wit. Elk vijfhoekig gebied omgeven wordt door een krans van vijf zeshoekige gebieden. 

Noemen we het aantal knooppunten V ( vertrices), E het aantal bogen (edges) en F het aantal gebieden (faces). Euler zegt dat

    \[V-E+F=2\]

  • Stel x het aantal vijfhoeken en y het aantal zeshoeken. Er zijn dus 5x , maar ook 6y knooppunten ( want in elk hoekpunt komen 2 zeshoeken samen). Bijgevolg is y=\frac{5}{3}x.
  • Alle vijfhoeken en zeshoeken hebben samen 5x + 6y = 5x + 10x= 15x zijden. Bij elke boog van het netwerken vallen twee zijden samen dus E=\frac{15}{2}x.
  • Het aantal gebieden wordt gegeven door F=x+y=\frac{8}{3}x .

De formule van Euler voor veelvlakken wordt nu : 5x-\frac{15}{2}x+ \frac{8}{3}x=2 of x=12

Onze voetbal is dus opgebouwd uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken, dus 32 zijvlakken; Verder zijn er 60 knooppunten en 90  bogen.

In de wiskunde noemt men deze figuur : de afgeknotte isocaëder.