Maandelijks archief: augustus 2020

Symbolen

Geplaatst op door

Wiskundige symbolen om een gelijkheid of een ongelijkheid aan te duiden werden pas na 1500 ingevoerd. Het = teken werd het eerst gebruikt in 1557 bij Robert Recorde (1510-1558), een Welshe wiskundige.

De symbolen < en > werden voor het eerst gebruikt in een boek van Thomas Harriot (1560-1621), een Engelse wiskundige, in 1631, ongeveer 10 jaar na zijn dood? Sommigen beweren dat de symbolen aan zijn uitgever werden toegeschreven.

Ruim 100 jaar later, in 1734, werden de symbolen \geq en \leq ingevoerd door de Franse wiskundige Pierre Bouguer (1698-1758).

 

Schuifpuzzel

Geplaatst op door

 

De schuifpuzzel is een puzzel, meestal op een bord van 4  op 4 met 15 verschillende stukken en 1 leeg veld; Het wordt dan ook   15-puzzel genoemd, maar bestaat ook in andere afmetingen. De bedoeling is om de stukken terug in de goede volgorde te krijgen door de stukken te schuiven.

De oorspronkelijke versie van dit spel werd in 1874 ontwikkeld door de New Yorkse postdirecteur Noyes Palmer Chapman. De vierkantjes zaten los en de speler kon ze in willekeurige volgorde neerleggen en dan proberen de puzzel door schuiven op te lossen. In de afbeelding hierboven uit Sam Loyds Cyclopedia waren in de beginpositie de getallen 14 en 15 van plaats gewisseld. 

Niet elke beginpositie is oplosbaar. Wiskundigen hebben onderzocht welke beginopstellingen kunnen worden opgelost. Neem bijvoorbeeld bovenstaande puzzel, beter afgebeeld als:

Is dit oplosbaar?

Twee speltoestanden worden als equivalent gedefinieerd als de ene door een aantal malen schuiven in de andere kan worden overgevoerd. Deze relatie is een equivalentierelatie.  Of  de puzzel oplosbaar is betekent dus of bovenstaande schikking equivalent is met de begintoestand. Men kan aantonen dat twee speltoestanden equivalent zijn als de pariteit van de permutatie van de 16 elementen die de ene in de andere overvoert gelijk aan die van de ‘afstand’  tussen de lege velden van de twee speltoestanden (dit betekent dat de twee lege velden zoals bij een schaakbord dezelfde of een verschillende kleur hebben). Wat geeft dit nu voor onze opgave?

  • de lege vakken staan in begin en eind situatie opdezelfde plaats: dus pariteit 0
  • De eindsituatie wordt bekomen uit de beginsituatie via 1 transpositie ( 1 omkering: 14 versus 15); Dus is de permutatie oneven en heeft pariteit 1.
  • De twee pariteiten zijn verschillend en dus is de puzzel onoplosbaar. Er werd dus ten onrechte een prijs van 1000$ uitgereikt voor de oplossing!

 

Sangaku 1

Geplaatst op door

 

Een sangaku is van nature uit een Japanse puzzel uit de Euclidische meetkunde. Vanuit een afbeelding wordt er gevraagd een eigenschap of stelling te herkennen of een berekening uit te voeren. Laten we starten met een eenvoudig voorbeeld:

Antwoord

  • Er wordt hier gevraagd naar de oppervlakte van het gele vierkant.
  • De oppervlakte van het grote vierkant is (\varphi+1)^2=\varphi^2+2\varphi+1. Nu is \varphi de gulden snede, dus is \varphi^2=\varphi+1, zodat de oppervlakte van het grote vierkant gelijk is aan 3\varphi+2.
  • Nu moet je vier driehoeken met schuine zijde \varphi+1 aftrekken. De kleinste rechthoekszijde vindt men door gelijkvormige driehoeken te beschouwen en heeft dan als lengte \frac{\varphi+1}{\sqrt{(\varphi+1)^2+1}}=\frac{\varphi+1}{\sqrt{3}\varphi}.
  • Zo wordt de oppervlakte van het gele vierkant uiteindelijk \frac{1}{3}\varphi^4. Hierbij gebruiken we de eigenschap dat 3\varphi+2=\varphi^4.

Periode decimaal getal

Geplaatst op door

We kunnen elke breuk schrijven in zijn decimale vorm. Ofwel eindigt deze schrijfwijze ( niet repeterend) , zoals bij \frac{1}{4}=0,25 ofwel krijg je een deel dat zich steeds herhaalt ( repeterend). Neem bijvoorbeeld \frac{1}{}=0,333.... De periode is 3 ( het deel dat herhaald wordt ) en de lengte van de periode is 1.

Hoe kunnen we nu de lengte van die periode berekenen?

  • De teller van de breuk speelt geen rol bij de lengte van de periode. Vandaar dat we enkel  zullen werken met stambreuken \frac{1}{n}.
  • Een breuk is niet repeterend als de priemontbinding van de noemer enkel bestaat uit factoren 2 en 5.
  • De lengte van de deel na de komma, voor het repeterend deel: kijk naar het aantal twee en het aantal vijven in de priemfactor ontbinding en neem het grootste aantal van beiden. Zo is \frac{1}{35}=0,0285717285714... :  dus 1 cijfer voor het repeterend deel begint.
  • De lengte van de periode van \frac{1}{n} is de kleinste p waarvoor geldt dat n een deler is van 10^{p-1}.
  • Als n een priemgetal is dan is de lengte van de periode van \frac{1}{n} een deler van n – 1. Als de lengte juist n – 1 is, dan noemen we dat priemgetal een volledig herhalend priemgetal. Onder 1000 zijn dat het getallen 7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983.
  • Als n en m priem zijn en de lengtes van de periodes van \frac{1}{n} en \frac{1}{m} zijn respectievelijk p_1 en p_2, dan is de lengte van de periode van \frac{1}{nm} het kleinste gemene veelvoud van p_1 en p_2 of een veelvoud daarvan.
  • Als n een priemgetal is waarvan de lengte van de periode gelijk is aan p, dan is de lengte van  de periode van \frac{1}{n^k} gelijk aan p.n^{k-1}.

Een voorbeeld: Neem de breuk \frac{1}{589}. De noemer is te schrijven als 589=19*31. De lengte van de periode voor een noemer 19 is een deler van 18 en narekenen leert ons dat het 18 is. De lengte van de periode voor een noemer 31 is een deler van 30 en blijkt 15 te zijn. Vervolgens nemen we het kleinste gemene veelvoud van 18 en 15: dit is 60. Bijgevolg is de lengte van de periode van \frac{1}{589} gelijk aan 90.