juni | 2020 | Wiskunde is leuk

Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats in het vlak van alle punten p, die bij gegeven punten A en B, voldoen aan

$d(P,A)=r . d(P,B)$

De naam van deze cirkel komt van de Griekse astronoom en wiskundige Apollonius van Perga( 262-190 BC). Hij was degene die kegelsnedes, zoals ellipsen, parabolen en hyperbolen, de namen gaf die we tot op de dag van vandaag nog gebruiken. Zijn achtdelige ”Konika” over kegelsnedes wordt gezien als één van de grootste werken uit de antieke meetkunde. Verder heeft hij enorm bijgedragen aan de astronomie. Dit blijkt uit de, naar hem vernoemde, Apolloniuskrater op de maan.

Merk eerst en vooral op dat als r = 1, dat de meetkundige plaats een rechte is, namelijk de middelloodlijn van $\left[A,B\right]$ .

Veronderstel nu dan dat $r \neq 1$ . Als we de oorsprong in A leggen, de X-as door A en B en B(d,0) noemen, dan is de nodige en voldoende voorwaarde voor (x,y) om op de meetkundige plaats te leggen gegeven door $x^2+y^2=k^2( (x-d)^2+y^2$ . Na wat rekenwerk is dit te herleiden tot

$\big(x-\dfrac{k^2d}{k^2-1}\big)^2+y^2=\dfrac{k^2d^2}{(k^2-1)^2}$

Dit is inderdaad een cirkel met middelpunt $M(\dfrac{k^2d}{k^2-1},0)$ en straal $\dfrac{kd}{k^2-1}$ .

Als C en D de snijpunten zijn van de cirkel met de X-as, dan geldt voor elk punt P van de cirkel dat PC en PD de deellijnen zijn van de driehoek ABP. In een driehoek worden, vanwege deze eigenschap, de cirkels door een hoekpunt en door de snijpunten van de bissectrices door dat hoekpunt met de overstaande zijde de cirkels van Apollonius van die driehoek genoemd.

Een paar opmerkingen:

De Apollonius cirkel door A heeft als verhouding $\frac{c}{b}$ .
Elk van deze cirkels staat loodrecht op de omgeschreven cirkel van de driehoek.
De middelpunten van de drie cirkels liggen op één lijn.

Noem $GL_n(F)$ de verzameling van alle n x n matrices over het veld F met een determinant die niet nul is. Het is duidelijk dat deze verzameling, uitgerust met de gewone matrixvermenigvuldiging, een groep is, want:

Omdat det( A.B)=det(A).det(B) zal $GL_n(F)$ gesloten zijn onder de vermenigvuldiging.
Omdat de determinant verschillend is van nul, heeft elke matrix een inverse.
De determinant van de eenheidsmatrix ( neutraal element) is verschillend van nul.

Een paar opmerkingen:

$GL_n(F)$ is niet-abels voor elke $n\geq 2$ en voor elk veld F.
$GL_n(F)$ is een eindige groep als en slechts als F een eindig veld is. Eindige velden zijn er voor elke waarde van p priem en voor alle priemmachten $p^m$ .
Als F een eindig aantal elementen q bezit, dan is het aantal elementen van $GL_n(F)$ gegeven door de formule
$(q^n-1)(q^n-q)\cdots(q^n-q^{n-1})$
Neem bijvoorbeeld $F=\mathbb{Z}_2$ , dan is de orden van $GL_2(\mathbb{Z}_2)$ gelijk aan 6. De enige niet-abelse groep van orde 6 is $S_3$ , dus is
$GL_2(\mathbb{Z}_2) \cong S_3$

Een ander ‘leuk’ voorbeeld is de Heisenberg groep H(F), vernoemd naar de Duitse natuurkundige Werner Heisenberg( 1901-1976).

H(F) bevat alle 3 x 3 bovendriehoeksmatrices van de vorm

$\begin{pmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}$

Het is duidelijk dat deze matrices allen een determinant gelijk aan 1 hebben, dus is H(F) een deelgroep van $GL_3(F)$ . Neem voor F een eindig veld met q elementen , dan zien we dat de orde van H(F) gelijk is aan $q^3$ .

Bekijken we even de situatie als $F=\mathbb{Z}_2$ , dan telt H(F) dus 8 elementen. Er zijn 5 elementen van orde 2, zoals bijvoorbeeld $\begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ en 2 elementen van orde 4, zoals bijvoorbeeld $\begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Bijgevolg is

$H(\mathbb{Z}_2)\cong D_4$

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: juni 2020

De cirkel van Apollonius

Matrixgroepen