mei | 2020 | Wiskunde is leuk

We onderzoeken 3 types oefeningen van kansrekening, gebaseerd op de manier waarop we ze benaderen.

Door te tellen. Neem bijvoorbeeld een zak met 16 knikkers , 4 blauwe en 12 groene. Je neemt er twee tegelijkertijd. Wat is de kans dat ze allebei blauw zijn? We gebruiken de formule van Laplace en we zoeken eerst het aantal mogelijkheden om 2 knikkers te nemen: C(16,2), het aantal combinaties van 2 elementen uit 16. Dan tellen we het aantal gunstige mogelijkheden: C(4,2). Besluit, na vereenvoudiging :
$P(\text{ 2 keer blauw} )= \dfrac{1}{20}$
Meetkundige benadering. Neem een getal tussen 1 en 4 en een tweede getal tussen 2 en 6. Bereken de kans dat de som van die twee getallen groter is dan 5.Alle mogelijkheden om die 2 getallen te nemen komen overeen met de punten in de rechthoek ABCD. De rechte Ef heeft vergelijking $x+y=5$ . De gunstige mogelijkheden zijn de punten in de veelhoek EBDCF. De kansen kunnen nu berekend worden door de oppervlakten te delen. Nu is E(1,4) en F(3,2), dus we vinden
$P(x+y>5)=\dfrac{5}{6}$
Kansen bereken via algebra. Jan en Piet spelen een spel met twee dobbelstenen. Ze gooien om de beurt en wie het eerst dubbel 1 gooit, die wint. Jan mag beginnen. Hoe groot is de kans dat Jan wint?Noteer de winstkansen van Jan en Piet respectievelijk door x en y. Dan weten we al zeker dat $x+y=1$ . De kans dat Jan wint bij de eerste worp is $\dfrac{1}{36}$ . De kans dat Piet bij zijn eerste worp wint is $\dfrac{35}{36}*\dfrac{1}{36}$ , want eerst moet Jan verliezen en dan moet hij winnen. De kans dat Jan wint bij zijn tweede worp is $\dfrac{1}{36}*\Big(\dfrac{35}{35}\Big)^2$ . De kans dat Piet wint bij zijn tweede worp is $\dfrac{1}{36}*\Big(\dfrac{35}{35}\Big)^3$ . Je kan zo verder gaan en via de som van de termen van een meetkundige reeks het gewenste resultaat vinden, maar je kan ook opmerken dat de kans dat Piet wint altijd de kans is dat Jan wint vermenigvuldigd met $\dfrac{35}{36}$ , dus $y=\dfrac{35}{36}*x$ . Je krijgt een stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden, dat als resultaat geeft dat $x=\dfrac{36}{71}$

Pi is de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel:

$\pi=\dfrac{\text{omtrek}}{\text{middellijn}}$

Dit leidt tot de misvatting dat pi een rationaal getal is, want het kan geschreven worden als een breuk! We vergeten hierbij dat, in een breuk, felle en noemer gehele getallen moeten zijn. Maar bij pi is hetzij de omtrek , hetzij de diameter irrationaal.

Het idee van pi als constante bestaat al lang. De Egyptenaren schatten het op $\frac{25}{8}=3,125$ en de Mesopotamiërs gaven het de waarde van $\sqrt{10}\approx 3,162$ .

Archimedes was de eerste die pi grondig onderzocht. Door veelhoeken in een cirkel te tekenen en hun omtrek te berekenen, kon hij pi schatten tussen $\frac{223}{71}$ en $\frac{22}{7}$ . sinds Archimedes is de nauwkeurigheid van pi groter geworden. Dank zij de computer kennen we nu pi tot op miljarden cijfers nauwkeurig.