Maandelijks archief: maart 2020

Corona

Geplaatst op door

 

Het basis repro­ductie­getal R0 geeft aan op hoeveel nieuwe mensen een besmet iemand het virus over­draagt. Men noemt dit ook simpel­weg de ‘besmet­telijk­heid’. Een besmettingsgetal van 2 betekent dat een drager van de infectie gemiddeld 2 andere mensen zal besmetten. Voor het covid-19 virus zitten de meeste schat­tingen voor R0 tussen de 2 en 3. Daarmee is dit virus besmet­telij­ker dan de sei­zoens­griep, die meestal een R0 van 1 tot 2 heeft. Het covid-19 virus is echter weer veel minder besmet­telijk dan bijvoor­beeld het mazelen­virus, dat een R0 van 12 tot 18 heeft. Hieron­der treft u ter verge­lijking een tabel aan met basis repro­ductie­getal­len voor een aantal bekende ziekten:

 
Ziekte R0
Mazelen 12-18
Polio 5-7
Rode­hond 5-7
Bof 4-7
Aids 2-5
SARS 2-5
Covid-19 2-3
Influen­za 1-2
 

Hoe groter R0 des te sneller neemt het aantal geïnfecteerde mensen toe, en des te moeilijker zal de infectie onder controle te krijgen zijn. Belang­rijk is ook om te weten dat R0 geen constan­te is. R0 is name­lijk mede afhanke­lijk van het aantal contac­ten waarbij besmet­ting moge­lijk is. Vandaar ook de oproep vanuit het ministe­rie om zoveel moge­lijk thuis te blijven en ruim afstand te houden tot anderen. Het concept van het reproductiegetal werd ontwikkeld in het werk van Alfred Lotka (1880-1949), Ronald Ross (1857-1932) en George MacDonald(1903-1967). Hieronder een foto van Lotka:

 

Het effec­tieve repro­ductie­getal
Als iemand immuun is gewor­den, door vaccina­tie of door de ziekte te hebben door­staan, leidt het oppik­ken van het virus niet meer tot een besmet­ting. Voor de bepa­ling van het effec­tieve repro­ductie­getal is van belang welk deel van de bevol­king nog vatbaar is. Geven we die fractie aan met de letter s, dan geldt de formule R = R0 · s.

 

Het effec­tieve repro­ductie­getal R is cruci­aal voor het verloop van de besmet­ting. Bij R > 1 breidt de pande­mie zich verder uit en bij R < 1 dooft de pande­mie op den duur uit. Voor de grens tussen toename en uitdo­ven geldt de formule s = 1/R0.

Girih

Geplaatst op door

Girih is de Arabische term voor een verzameling siertegels die bij decoratieve betegelingen in de Islamitische architectuur, worden gebruikt.

Een voorbeeld van dergelijke tegels is:

Een patroon hiermee is bijvoorbeeld:

In een mozaïek in de Yesil moskee ( Bursa, Turkije) vind je hiervan een uitgewerkt voorbeeld.

Vaak is zo een betegeling periodiek. dit wil zeggen dat er een translatiesymmetrie aanwezig is. Maar er zijn ook andere mogelijkheden.

In de jaren 1970 bestudeerde de wiskundige Roger Penrose (1931) niet-periodieke betegelingen. Een voorbeeld:

De drie snelste paarden

Geplaatst op door

De eigenaar van een mooie renstal met 25 paarden wil uitzoeken welke drie paarden het snelst zijn. Hij kan dit echter alleen doen door de paarden tegen elkaar te laten lopen. Maar hij kan slechts vijf paarden tegelijkertijd  laten lopen. Hoeveel races heb je minimaal nodig om de drie snelste paarden te selecteren. 

  • Verdeel de 25 paarden in 5 groepjes van 5 en duid in elke groep het snelste paard aan door 5 races te organiseren. Laat in de zesde wedstrijd de 5 winnaars tegen elkaar uitkomen. Zo kan het allersnelste paard worden aangeduid in 6 races.
  • Om het tweede en derde snelste paard aan te duiden heb je maar 1 extra wedstrijd nodig: 

    In de tekening hierboven staan de paarden per groep, van links naar rechts, in volgorde van snelheid. de traagste helemaal links. De groepen zelf zijn gerangschikt van onder naar boven volgens de snelheid van hun winnaar; de traagste helemaal onderaan. In het rood zijn alle paarden aangeduid waarvan we weten dat er nog minstens drie snellere paarden zijn. Er blijven nog zes paarden over. Het paard rechtsboven is de allersnelste en laten we even buiten beschouwing. Laat de vijf andere tegen elkaar lopen in de zevende race.  Zo vinden we de zilveren en bronzen medaille!

 

Het getal e

Geplaatst op door

Het product 1.2.3.4….n wordt genoteerd door n! en noemt men n faculteit. De grootte van de faculteiten neemt zeer snel toe:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
7!=5040
8!=40320
9!=362880
10!=3628800

Even snel nemen dus de waarden van de termen in de volgende som af:

    \[a_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!}\]

We kunnen verwachten dat, naarmate n groter wordt, de waarde van a_n zeer weinig zal toenemen en een bepaald getal niet zal overschrijden. We kunnen aantonen dat a_n kleiner blijft dan 3.

Als we in k! elke factor, behalve de eerste, vervangen door 2, dan zien we duidelijk dat  k!> 2^{k-1}. Bijgevolg is a_n kleiner dan 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}. Vanaf de tweede term herken je hierin de som van de termen van een meetkundige rij.De limiet hiervan is \frac{1}{1-0,5}=2. Hieruit volgt dat , voor toenemende n waarden, a_n zeker kleiner is dan 1+2=3.

De getallen a_n zijn termen van een naar boven begrensde , stijgende rij en dus zal die rij convergeren. Die limiet noemen we het getal e. Met a_{12} te berekenen vindt we dat e\approx 2,7182818.

 


Het was de Schotse wiskundige John Napier die het eerst met dit getal geconfronteerd werd, toen hij werkte aan de eerste rekenlinialen.

Het getal werd door Euler het exponentiële getal genoemd. Vandaar ook, waarschijnlijk, de letter e voor dit getal. Het was ook Euler die de meeste eigenschappen van dit getal vond.

6. Wiskunde in het oude Indie

Geplaatst op door

 

De eerste belangrijke beschaving in het Indus gebied was de Harappa-beschaving rond 2000 voor Christus

Het Vedische volk kwam India rond 1500 voor Christus binnen vanuit wat nu  Iran is.  In deze Vedische beschaving was de bevolking verdeeld in verschillende sociale klassen. de leiding berustte bij de priesterklasse, de Brahmanen. Hun heilige teksten staan bekend staan ​​als de Veda’s. De teksten dateren van ongeveer de 15e tot de 5e eeuw voor Christus en werden gebruikt voor offerrituelen die het belangrijkste kenmerk van de religie waren. De belangrijkste van deze documenten zijn de Baudhayana Sulbasutra geschreven rond 800 voor Christus en de Apastamba Sulbasutra geschreven rond 600 voor Christus. Minder gekend zijn de Manava Sulbasutra geschreven rond 750 voor Christus en de Katyayana Sulbasutra geschreven rond 200 voor Christus.

De Sulbasutra’s zijn bijlagen bij de Veda’s die regels geven voor het bouwen van altaren. Als het rituele offer succesvol zou zijn, moest het altaar zich  zeer precieze afmetingen hebben. Om de goden tevreden te stellen, moest alles met een zeer precieze formule worden uitgevoerd, dus werd wiskundige nauwkeurigheid van het grootste belang geacht. 

Alles wat bekend is van Vedische wiskunde is vervat in de Sulbasutras. Sommige historici beweren dat de wiskunde, meer speciaal de meetkunde, ook moet hebben bestaan ​​als ondersteuning van de astronomie.

Een paar voorbeelden van hun meetkundige kennis:

  • Een vierkant dat de som is van twee andere vierkanten
  • De diagonaal van een vierkant geeft een vierkant van dubbele oppervlakte.
  • Een vierkant dat gelijk is aan een cirkel (komt overeen met een waarde voor pi van ongeveer 3,00444)
  • De som van de oppervlakten van vierkanten van de lengte en breedte van een rechthoek geeft het vierkant van de diagonaal van de rechthoek.
  • Vermeerder de eenheid met een derde en dit derde met zijn vierde en verminder dat met het 34ste deel van dat vierde. zo bekom je een benadering voor de vierkantswortel van 2: 1,414215

De Sulbasutra’s bevatten geen enkel bewijs van de regels die ze beschrijven. Sommige regels, zoals de methode om een ​​vierkant te construeren dat gelijk is aan een bepaalde rechthoek, zijn exact. Anderen, zoals het construeren van een vierkant gelijk aan dat van een bepaalde cirkel, zijn benaderingen.