Maandelijks archief: januari 2020

Oplossing door lineaire combinaties

Geplaatst op door

Bekijk even het volgende probleem:  gegeven zijn n verschillende reële getallen m_1,\dots,m_n en a_1,\cdots,a_n. Bepaal een veelterm P(x) zodat P(m_i)=a_i voor i:1...n.

Dit is eigenlijk een interpolatieprobleem, waarbij we een veeltermfunctie zoeken waarvan de grafiek door de n punten (m_i,a_i) gaat. Natuurlijk kunnen we het stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden gaan oplossen dat ontstaat door de n punten in te vullen in de algemene vorm van een veeltermfunctie van graad n-1.

Een andere techniek bestaat erin eerst speciale gevallen op te lossen, waarbij één van de a_i’s gelijk is aan 1 en de andere aan 0. Dit is niet zo lastig : definieer P_i(x) als het product van alle factoren x-m_j waarbij j verschilt van i. Neem vervolgens v_i(x)=\frac{P_i(x)}{P_i(m_i)}. Dan geldt inderdaad dat v_i(m_i)=1 en v_i(m_j)=0 voor elke j verschillend van i.

De uiteindelijke oplossing van het beginprobleem ontstaat nu door de gepaste lineaire combinatie te nemen van de gevonden veeltermen v_i(x), namelijk:

    \[P(x)=a_1v_1(x)+\cdots+a_nv_n(x)\]

Dit noemt men ook wel eens de Lagrange interpolatie formule.(naar de Franse wiskundige Joseph-louis Lagrange( 1736-1813))

Een voorbeeld: f(x) is een veelterm van graad maximaal n waarvoor geldt dat f(k)=\frac{n+1-k}{k+1} voor k=0,1,...,n . Zoek f(n+1).

Spoiler

  • We zoeken dus een veeltermfunctie waarvan de grafiek gaat door de punten (0,\frac{n+1}{1}),(0,\frac{n}{2}),...,(0,\frac{1}{n+1})
  • Definieer v_k(x)=x(x-1).....(x-n) waarbij de factor x-k weggelaten is. 
  • Nu is v_k(n+1)=\frac{(n+1)!}{n+1-k}. Verder is ook v_k(k)=(-1)^{n-k}.k!.(n-k)!.
  • Gebruikmakend van de Lagrange interpolatie formule vinden we :

        \[f(n+1)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\]

  • Dit kunnen we herschrijven als

        \[f(n+1)=\sum_{l=1}^{n+1}(-1)^{n-l+1}\frac{(n+1)!}{l!(n+1-l)!}\]

  • Via de uitwerking van het binomium van Newton voor (1-1)^{n+1} vinden we tenslotte

        \[f(n+1)=(-1)^n\]