Maandelijks archief: januari 2020

Harmonisch puntenviertal

Geplaatst op door

Neem nu even de bissectrice stelling:  de bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde  in stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden. Dit geldt zowel voor de binnen bissectrice als de buiten bissectrice.

Dus : \frac{|DC|}{|DB|}=\frac{b}{c}=\frac{|D'C|}{|D'B|}. Als we de lijnstukken een richting geven en tegengesteld gerichte lijnstukken van een tegengesteld teken voorzien, kunnen we hieruit besluiten dat :

    \[\frac{|DC|}{|DB|}=-\frac{|D'C|}{|D'B|}\]

Een viertal punten, dat op een rechte ligt net zoals B,C,D en D’ noemen we een harmonisch puntenviertal. Andere formuleringen: 

  • De punten D en D’ liggen harmonisch ten opzichte van de punten B en C.
  • Het punt D’ is harmonisch toegevoegd aan het punt D ten opzichte van de punten B en C.
  • De dubbelverhouding van 4 punten, genoteerd als (BCDD') wordt gedefinieerd als \frac{|DC|}{|DB|}.\frac{|D'B|}{|D'C|}. Bij een harmonisch puntenviertal is de dubbelverhouding gelijk aan -1, dus

        \[(BCDD')=-1\]

We hebben dus net bewezen dat de binnen- en buiten bissectrice uit een hoekpunt van een driehoek  de overstaande zijlijn snijden in punten die harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de hoekpunten op die zijlijn.

Als er drie punten op een rechte gegeven zijn, dan kan men een vierde punt construeren zodat ze een harmonisch puntenviertal vormen:

  • Gegeven A,B en C.
  • Teken door A en B willekeurig  twee evenwijdige rechten.
  • Teken door C een rechte die de vorige twee rechten snijdt in T en P.
  • Verleng PB toto in Q zodat |PB|=|BQ|.
  • Teken TQ en het snijpunt D met AB.
  • Dan is (ABCD)=-1.

Dit volgt uit de gelijkvormigheid van driehoek BDQ met driehoek DAT en de gelijkvormigheid van driehoek BCP en driehoek ACT.

Algebraïsche getallen

Geplaatst op door

Een algebraïsch getal is een wortel van een van 0 verschillende veelterm met rationale coëfficiënten.

Zo is \sqrt{2} een reëel algebraïsch getal want \sqrt{2} is een wortel van de veelterm x^2-2. Verder is bijvoorbeeld \sqrt{2}i een complex algebraïsch getal want \sqrt{2}i is een wortel van de veelterm x^2+2.

Enkele eigenschappen:

  • het tegengestelde van een algebraïsch getal is ook een algebraïsch getal.
  • het omgekeerde van een van 0 verschillend algebraïsch getal is ook een algebraïsch getal.
  • elk rationaal getal is een algebraïsch getal.
  • ook de som en het product van 2 algebraïsche getallen zijn algebraïsch. Dit is niet zo evident. Neem bijvoorbeeld x=\sqrt{2}+\sqrt{3}, de som van 2 algebraïsche getallen. Dan is x-\sqrt{2}=\sqrt{3}, wat na kwadrateren x^2-1=2\sqrt{2}x geeft. Nogmaals kwadrateren geeft uiteindelijk x^4-10x^2+1=0.Bijgevolg is x een algebraïsch getal.
  • uit al de vorige eigenschappen kan je dus besluiten dat de algebraïsche reële getallen en de algebraïsch complexe getallen, allebei met de gewone optelling en vermenigvuldiging, velden zijn.
  • men kan zelfs bewijzen dat r een reëel algebraïsch getal is als r een wortel is van een van 0 verschillende veelterm met gehele coëfficiënten.
  • we noteren \mathbb{A} voor het veld van de reële algebraïsche getallen. Dan is \mathbb{Q} \subset \mathbb{A}\subset \mathbb{R}.

Een transcendent getal is een getal dat niet algebraïsch is. Het bestaan van transcendente getallen is niet vanzelfsprekend. dat ze inderdaad bestaan is bewezen door de Franse wiskundige J.Liouville(1809-1882). 

De transcendentie van e, de basis van de natuurlijke logaritmen, werd in 1873 bewezen door C.Hermite(1829-1901). De transcendentie van \pi werd op een gelijkaardige manier bewezen in 1882 door F.Lindemann(1852-1939)

Cantor bewees dat de verzameling van de complexe algebraïsche getallen aftelbaar oneindig is, met andere woorden ze bezit dezelfde kardinaliteit als de verzameling van de natuurlijke getallen. De stelling van Cantor houdt in dat de verzameling van de transcendente complexe getallen de overaftelbaar is. Dus bijna alle complexe getallen zijn transcendent! In de beginafbeelding zie je de algebraïsche complexe getallen.

Niet-Euclidische meetkunde

Geplaatst op door

 

De meetkunde, die we dagelijks gebruiken, wordt Euclidische meetkunde genoemd, ter ere van Euclides, die tussen 330 en 320 voor Christus een aantal boeken, genaamd „Elementen” geschreven heeft.

Hierin wordt  de meetkunde opgebouwd met stellingen vertrekkend van een vijftal postulaten of axioma’s: 
1. Door 2 verschillende punten gaat juist 1 rechte.
2. Een lijnstuk kan naar beide kanten onbeperkt worden
    verlengd.
3. Er kan met elk middelpunt en elke straal een cirkel
    getrokken worden.
4. Alle rechte hoeken zijn gelijk.
5. Door een punt P buiten een rechte , gaat precies één rechte
    die evenwijdig loopt met  de eerste rechte.

Dit laatste axioma staat bekend als het parallellenpostulaat.
Eeuwen heeft men gedacht dat men dit postulaat kon bewijzen aan de hand van de andere vier axioma’s. Trouwens de formulering van het parallellenpostulaat was oorspronkelijk anders.  De gegeven formulering komt van John Playfair. Deze formulering stamt uit 1795 en staat bekend als “Playfair’s axioma” . Een andere gelijkwaardige formulering van dit postulaat is dat de hoekensom van een driehoek gelijk is aan 180°.

Het duurde tot de 19 de eeuw voor het juist inzicht er kwam en wel bij 3 wiskundigen ongeveer gelijktijdig en waarschijnlijk onafhankelijk van elkaar: C.F.Gauss, J.Bolyai en I.Lobatschefsky.

Het was Joha,, Bolyai die tot het inzicht kwam dat het mogelijk was een meetkunde op te stellen, waarin door een punt buiten een rechte oneindig veel rechten gaan die de gegeven rechte niet snijden. Hij publiceerde zijn ideeën in 1832 en gaf zo gestalte aan de hyperbolische meetkunde. De som van de hoeken van een driehoek is hier minder dan 180°.  In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. 
Later werd ook de elliptische meetkunde ontdekt. Elliptische meetkunde is een niet-Euclidische meetkunde, waarbij door een punt buiten een rechte  geen andere rechten bestaat die de gegeven rechte niet snijdt.

De gewone meetkunde is dus niet de meetkunde, maar een  meetkunde. Met andere axioma’s krijgen we een ander soort meetkunde.

Stapelen

Geplaatst op door

Hoe kan je 15 appelsienen (allemaal even groot) in een zo klein mogelijke vierkante doos schikken? 
Je zou 4 rijen van 4 kunnen nemen en er eentje uitnemen. Dan heeft de doos een lengte gelijk aan vier keer de diameter van de appelsien. Kan het in een kleinere doos? En hoeveel ruimte blijft er dan over?

Vraagstukken over het stapelen van bollen ( appelsienen, knikkers, biljartballen, kanonskogels of moleculen) vormen uitdagende wiskundige problemen.

 In 1587 keek ontdekkingsreiziger Walter Raleigh naar een piramidevormige stapel kanonskogels en vroeg zich af , of er een formule bestond die berekende hoeveel kogels er in zo een stapel waren. Hoe groot waren de gaten tussen de kogels? En kon je de bollen misschien efficiënter opstapelen? Hij speelde zijn vragen door naar de Duitse wiskundige Johannes Kepler die in 1611 het vermoeden formuleerde dat het niet beter kon dan de gebruikelijke manier van stapelen. Deze manier van stapelen vult iets meer dan 74% van de ruimte . Elke andere schikking van even grote bollen zou gemiddeld meer ruimte ongebruikt laten.

Dit kon slechts in 1998 bewezen worden door de Amerikaan Thomas Hales. Het bewijs was gebaseerd op een computercontrole van een groot aantal gevallen en werd pas in 2017 officieel aanvaard.