Maandelijks archief: november 2019

Nootje 11

Geplaatst op door

Gegeven is (x+5)^2+(y-12)^2=196. Bepaal de minimumwaarde van  x^2+y^2.

Antwoord

  • Je zou natuurlijk gebruik kunnen maken van de parametervergelijking van de cirkel en zeggen dat x=-5+14\cos \theta en y=12+14 \sin \theta. Dit invullen in x^2+y^2 geeft een functie in één variabele : \theta. Via de theorie van afgeleiden kan je dan de minimale waarde vinden.
  • Maar als je de vraag meetkundig bekijkt kom je sneller tot een oplossing. We zoeken eigenlijk naar een punt op de gegeven cirkel dat het dichtst bij de oorsprong ligt. maar dat ligt dit punt A op dezelfde lijn als het middelpunt van de cirkel (M) en de oorsprong. Omdat de afstand van A tot M 14 is en de afstand van M tot O 13 is, zal de minimale waarde van x^2+y^2 gelijk zijn aan 1.

De rij van Padovan en het plastisch getal

Geplaatst op door

Gelijkaardig aan de rij van Fibonacci, kunnen we ook de rij van Padovan definiëren, als de rij met p_1=p_2=1 en

    \[p_n=p_{n-2}+p_{n-3}\]



De rij van Padovan is vernoemd naar de schrijver en architect Richard Padovan die zijn ontdekking toegeschreef aan de Nederlandse architect Hans van der Laan . Hieronder zie je een spiraal van gelijkzijdige driehoeken waarvan de lengten der zijden gelijk zijn aan de de getallen uit de rij van Padovan.

Als we de rij bestuderen van de quotiënten van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Padovan, bekomen we volgende rij : 2,1,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4},\frac{7}{5},\frac{9}{7},.... We vermoeden dat deze rij convergeert naar een limiet L. 
a_n=\frac{p_n}{p_{n-1}}=\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}+\frac{p_{n-3}}{p_{n-1}}=\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}+\frac{p_{n-3}}{p_{n-2}}\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}. Dus is a_n=\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n-2}}\frac{1}{a_{n-1}}. In de limiet wordt dit L=\frac{1}{L}+\frac{1}{L^2}. Bijgevolg voldoet de limiet L aan de betrekking

    \[L^3-L-1=0\]

Zo vinden we voor L de benaderende waarde 1,3247.

Dit getal noemen we het plastisch getal. Het plastisch getal heeft met de gulden snede nog meer eigenschappen gemeen, maar sommigen gaan nog verder en dichten aan deze getallen verregaande eigenschappen toe omtrent schoonheid.

 

 

 

Priemgetallen

Geplaatst op door

Deze mooie plot krijg je als je in het vlak de punten (p,p) tekent, waarbij p een priemgetal is en waarbij je met poolcoördinaten werkt. Dus elk punt (p,p) wordt op een afstand p van de oorsprong getekend met een hoek van p  radialen ten opzichte van de positieve X-as