mei | 2019 | Wiskunde is leuk

In het zicht van de volgende verkiezingen, even wat uitleg over de stemparadox. De paradox duidt een situatie aan bij een stemming waarbij er geen manier bestaat om met de individuele voorkeuren een collectieve uitkomst te bepalen. Veronderstel de volgende voorkeuren bij 3 kiezers (I,II en III):

	1ste keus	2de keus	3de keus
I	Bart	Meyrem	Wouter
II	Wouter	Bart	Meyrem
III	Meyrem	Wouter	Bart

Stel dat onze drie kiezers eerst moeten kiezen tussen Bart en Meyrem. Dan wint Bart door de stem van kiezers I en II. Maar als het vervolgens in de tweede ronde tussen Bart en Wouter gaat, dan wint Wouter door de stem van kiezers II en III. Nochtans haalt Meyrem het duidelijk van Wouter dankzij kiezers I en III… Ook voor de andere combinaties beland je in een lus. Nochtans heeft elk van de drie kiezers een duidelijke en consistente voorkeur. De stemparadox illustreert daarmee de relativiteit van sommige democratische beslissingen.

Deze paradox wordt ook wel de paradox van Condorcet genoemd en werd door de markies Nicolas de Condorcet(1743-1794) geformuleerd aan het einde van de 18de eeuw.

We geven enkelen eigenschappen in verband met deelbaarheid bij veeltermen. Deze eigenschappen lijken op de deelbaarheidseigenschappen bij gehele getallen:

Voor twee veeltermen f(x) en g(x) bestaat er een uniek quotiënt q(x) en een unieke rest r(x) zodat f(x) = q(x) . g(x) + r(x) met gr(r(x)) < gr (g(x)).
De rest van de deling van f(x) door x – a is f(a). Deze eigenschap noemen we de reststelling. Dit levert meteen een criterium voor deelbaarheid door veeltermen van de vorm x – a: de veelterm f(x) is deelbaar door x – a als f(a) = 0.
Als a en b verschillend zijn dan is f(x) deelbaar door (x – a)(x – b) als f(a) = f(b) = 0.
De veelterm f(x) is deelbaar door $(x-a)^k$ als a een nulpunt is van f(x) en de eerste k – 1 afgeleiden van f(x). We spreken dan van een k- voudig nulpunt.
Er bestaan veeltermen die elkaar wederzijds delen, we noemen deze toegevoegde elementen. Zo zijn alle reële getallen verschillend van 0 toegevoegd aan 1. De elementen toegevoegd aan 1 noemen we eenheden. Het is duidelijk dat toegevoegde elementen slechts verschillen van een factor gelijk aan een eenheid.
Zijn f(x) en g(x) van nul verschillende veeltermen dan bestaat er onder de toegevoegde elementen van hun ggd (kgv) precies 1 waarvan de hoogste graadsterm coëfficiënt 1 heeft. Deze unieke veelterm wordt weleens dé ggd(kgv) van f(x) en g(x) genoemd.
Voor elk tweetal veeltermen f(x) en g(x) bestaan er veeltermen p(x) en q(x) zodat ggd( f(x) , g(x) ) = p(x) . f(x) + q(x) . g(x). Dit is de eigenschap van Bezout.
Een veelterm, verschillend van nul en van een eenheid, waarvan de enige delers eenheden of toegevoegde elementen zijn, noemen we een irreduciebele veelterm. Deze veeltermen zijn dus niet ontbindbaar is allemaal factoren van een lagere graad. De enige irreduciebele veeltermen in $\mathbb{R}\left[x \right]$ zijn de eerste graads veeltermen en de tweedegraads veeltermen met een negatieve discriminant.
Een veelterm f(x) , verschillend van nul en van een eenheid, is een priem veelterm als voor alle veeltermen g(x) en h(x) geldt dat uit f(x) | g(x).h(x) volgt dat f(x) | g(x) of f(x) | h(x). Voor reële veeltermen is priem veelterm een synoniem voor irreduciebele veelterm.
Elke van nul verschillende veelterm bezit een unieke ontbinding ( op toegevoegde elementen na).
Als $\frac{p}{q}$ een rationaal nulpunt is van een veelterm met gehele coëfficiënten dan deelt p de coëfficiënt $a_0$ en q deelt $a_n$ in $\mathbb{Z}$ .

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: mei 2019

Stemparadox

Deelbaarheid bij veeltermen