Maandelijks archief: mei 2019

Stelling van Wilson

Geplaatst op door

De kleine stelling van Fermat zegt ons dat voor een priemgetal p geldt dat a^p \equiv a \mod{p}. Maar dan zijn 1,2, … , p – 1 allemaal nulpunten van de veelterm X^{p-1}-1 in de verzameling \mathbb{Z}_p[X] en dus kunnen we, omdat er geen nuldelers zijn, volgende ontbinding neerschrijven: X^{p-1}-1 = (X-1)(X-2) \cdots (X-(p-1)).
Door hierin X te vervangen door 0, vinden we een deel van volgende stelling:

    \[p \text{ is priem als en slechts als } (p-1)! \equiv -1 \mod{p}\]

Dit resultaat staat bekend als de stelling van Wilson, naar de Engelse wiskundige John Wilson (1741-1793). Nochtans komt dit resultaat een eerste keer voor bij Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965-1040)

Bovendien had Wilson geen bewijs van de stelling. Het was Lagrange die in 1771 het eerste bewijs ervan formuleerde.

Het is ook duidelijk dat als n een samengesteld getal is, groter dan 4,  dat  (n-1)! \equiv 0 \mod{n}.

Een algemene vorm is voor ieder oneven priemgetal p en voor ieder positief geheel getal k kleiner dan p:

    \[(k-1)!(p-k)! \equiv (-1)^k \mod{p}\]

Deze veralgemening danken we aan C.F.Gauss

Agnesi

Geplaatst op door

Maria Agnesi ( 16 mei 1718 – 9 januari 1799 ) was een Italiaanse taalkundige en wiskundige. Ze was de eerste vrouw die een boek schreef over de differentiaal en integraalrekening.

In haar jeugd blonk ze uit door haar kennis van talen ( Grieks, Hebreeuws, Spaans, Duits, Latijn en waarschijnlijk nog een paar andere talen ). Bij haar thuis werden de geleerdste mensen uit Bologna uitgenodigd , waarvoor zij allerlei filosofische problemen besprak.

Op haar twintigste stopte ze daarmee en hoewel haar wens was om non te worden, wijdde ze zich van dan af volledig aan de wiskunde. Haar belangrijkste werk was Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana,

Op haar vierendertigste volgde ze uiteindelijk haar droom en studeerde theologie. Ze richtte een bejaardentehuis, Opera Pia Trivulzio, op en bestuurde het, terwijl ze leefde  zoals de nonnen die daar werkten.

We kennen haar ook van de kromme met de naam de heks van Agnesi.

De kromme heeft vergelijking y(1 + x²) = 1. Ze  ontstaat wanneer je een rechte lijn over een cirkel laat ronddraaien . De kromme heette daarom oorspronkelijk een ‘versiera’ (afgeleid van het Latijnse vertere = draaien). Het woord ‘versiera’ was echter ook een afkorting van ‘avversiera’ of ‘vrouw van de duivel’.

Roemeense wiskunde olympiade

Geplaatst op door

Op 15 september 1895 werd Romanian Mathematical Society (Societatea de Stiinte Matematice din Romania) opgericht. Dit is ook de datum van de eerste uitgave van de Gazeta Matematica. Soms neemt men ook 1910 als stichtingsdatum. Dit tijdschrift werd opgericht door 5 jonge ingenieurs die bezorgd waren over de gebrekkige kennis van de wiskunde. Het tijdschrift mikte op uitdagende lezers en interessante problemen om alzo een dieper inzicht te verwerven in de schoolse wiskunde. De nadruk werd gelegd op allerlei problem solving competities die tenslotte uitmondden in de eerste nationale wiskunde olympiade in 1949. Deze werden gehouden in verschillende ronden ( district-nationaal) en waren toegankelijk voor leerlingen van graad 7 tot 12.

Roemenië stond ook aan de wieg van de IMO. Er werd toen immers ook beslist een internationale wiskunde olympiade te organiseren. Roemenië deed dat in 1959 ( 1ste IMO ), 1960, 1969, 1978,  1999 en 2018.

Nootje 10

Geplaatst op door

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van x^4+x^3+2x^2-3x+12=0?

Antwoord

  • Noem de wortels a,b,c en d. Ze berekenen lijkt te moeilijk.
  • We zoeken S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}.
  • Uitrekenen geeft: S=\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}
  • Nu weten we dat het product van de oplossingen van x^4+px^3+qx^2+rx+s=0 gelijk is aan s. Bijgevolg is abcd=12.
  • De som van alle producten van 3 wortels van x^4+px^3+qx^2+rx+s=0  is -r. Bijgevolg is bcd+acd+abd+abc=3.
  • De gevraagde som S=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.

Graaf van een groep

Geplaatst op door

Er bestaat een manier om de structuur van een groep visueel voor te stellen. Het was de Engelse wiskundige Arthur Cayley die in 1878 als eerste gebruik maakte van de theorie van de grafen om dit te doen. We spreken dan ook van een Cayley – graaf van een groep.

Gegeven zijn een groep G en een verzameling van generatoren van de groep. De Cayley – graaf van G is dan een gekleurde en gerichte graaf die opgebouwd is volgens de volgende regels:

  • Met elk element van de groep correspondeert 1 knoop van de graaf.
  • Voor elke generator gebruiken we een aparte kleur.
  • Als a een generator is, dan gaat er, in de kleur die bij a hoort, een gerichte zijde van elk element g van de groep naar het element g.a.

Voor de cyclische groep van orde 6 ( \mathbb{Z}_5,+ ) is de graaf zeer eenvoudig: De generator is 1.

Voor de dihaedergroep D_4 is het al wat moeilijker: de generatoren zijn a en b. De rode pijl geeft de  rechtervermenigvuldiging met a en de blauwe de rechtervermenigvuldiging met b. Bij de blauwe pijl ontbreekt de pijlrichting omdat de pijl heen en terug gaat.