Maandelijks archief: april 2019

Diabolo

Geplaatst op door

Een diabolo is een voorwerp waarmee men allerlei trucs kan uitvoeren. Het bestaat uit twee  komvormige delen die met hun bodem aan elkaar zijn verbonden. Dit verbindingsstuk is het steunpunt voor de diabolo. Bij een diabolo horen twee stokjes bij die met een touw zijn verbonden. Hiermee kan de diabolo aan het tollen worden gebracht, zodat hij in balans blijft, en in de lucht kan worden gegooid en opgevangen. Het jongleren met een diabolo is afkomstig uit China.

Hoe kan je nu dergelijke figuur wiskundig genereren? Neem de impliciete vergelijking in de onbekenden x,y en z:

    \[x^2=(y^2+z^2)^2\]

Het is duidelijk dat dit oppervlak de unie is van twee omwentelingsparaboloïden: x=\pm (y^2+z^2) die elkaar raken in de oorsprong. Het raakvlak is het verticale vlak x=0.

Bovenstaande tekening is gemaakt met het programma Surfer.

Hexomino’s

Geplaatst op door

In 1953 introduceerde Solomon W. Golomb, toen student aan de Harvard Universiteit, de term polyomino voor figuren die gevormd worden door eenheidsvierkanten samen te voegen. Omdat een domino bestaat uit twee aaneengesloten vierkanten, stelde Golomb voor figuren met drie vierkanten tromino’s te noemen. Die met vier vierkanten tetromino’s. En verder pentomino’s, hexomino’s, heptomino’s enz.

Hoeveel hexomino’s zijn er nu en hoeveel ervan kan je tot een kubus bouwen? Figuren die door een draaiing of een spiegeling op elkaar kunnen afgebeeld worden, beschouwen we als identiek.

  • De eenheidsvierkanten kunnen op verschillende manieren aaneengesmeed worden. Er is één monomino en één domino.
  • Om het aantal tromino’s (ook wel triomino’s genoemd) te bepalen, zoeken we uit hoe we van een domino een tromino kunnen maken. Je kan er rechts 1 toevoegen of er eentje bovenop zetten: er zijn dus 2 tromino’s
  • Bij de eerste tromino kan je nu een vierkantje bijvoegen rechts, links boven of midden boven. Bij de tweede tromino kan je dat rechts of links van het bovenste vierkantje doen. Zo bekom je 5  tetromino’s ( ook quatromino’s genoemd). Deze figuren kom je tegen bij het spel Tetris.
  • Van de blauwe tetromino kan je 3 pentomino’s ( of quintomino’s) maken. Van de oranje kan je dat op 7 manieren doen. Voor de paarse en de groen elk op 1 manier . Je vindt dus 12 pentomino’s.
  • Vertrekkend van de pentomino’s ( eerst de bovenste rij van links naar rechts) kan je dan 6 + 4 +11 + 9 + 6 + 9  + 9 + 10 + 5 + 2 +  10 + 5 = 86 figuren maken. Maar sommige zijn hetzelfde, ze kunnen door een rotatie of spiegeling op elkaar worden afgebeeld. er blijven uiteindelijk 35 hexomino’s over :
  • Slechts 11 daarvan kunnen een kubus vormen: