Maandelijks archief: maart 2019

Een cijferraadsel

Geplaatst op door

Als a679b een getal is van 5 cijfers en bovendien deelbaar is door 72, bepaal dan a en b.

Dit is een eenvoudig voorbeeld van een cijferraadsel. De onbekenden a en b stellen cijfers voor: 0 , …, 9. In dit raadsel is er een voorwaarde over deelbaarheid gegeven om het probleem te kunnen oplossen.

  • Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers deelbaar zijn door 8, dus moet 79b deelbaar zijn door 8. de enige oplossi,ng is b = 2.
  • Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9, dus als a +6 +7 +9 +2 deelbaar is door 9.
  • Dus moet a + 6 een veelvoud zijn van 9. dan is a = 3 de unieke oplossing.
  • Besluit a = 3 en b = 2.
  • Controle 36792 = 72 . 511

Nootje 6

Geplaatst op door

F(x) is een veelterm met gehele coëfficiënten en waarvan de coëfficiënt van de hoogste graads term 1 is. Bovendien neemt f(x) de waarde 5 aan voor 4 verschillende gehele getallen. Bewijs dat f(x) nooit de waarde 8 kan aannemen.

Antwoord

  • Neem g(x) = f(x) – 5.  Dan heeft g(x) 4 verschillende nulwaarden: a,b,c en d.
  • We kunnen dus schrijven dat g(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)h(x) ofwel  f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)h(x) + 5. Hierbij is h(x) een veelterm met gehele coëfficiënten.
  • Veronderstel dat er toch een y zou bestaan zodat f(y) = 8, dan zou
    (y – a)(y – b)(y – c)(y – d)h(y) = 3.
  • De 5 factoren in het linkerlid zijn allen gehele getallen, waarvan de 4 eerste zeker al verschillend zijn. Omdat 3 = 1.3 of 3= (-1). (-3) kan je nooit 4 verschillende factoren hebben.
  • De waarde 8 kan dus nooit bereikt worden door f(x).

Koffiekop kromme

Geplaatst op door

We weten dat lichtstralen die invallen op een parabolische spiegel en die evenwijdig zijn met de as, worden weerkaatst door het brandpunt van de parabool. Maar wat gebeurt er als de lichtstralen invallen op een gekromd oppervlak dat cilindrisch is? Dat effect krijg je als de zon op je tas koffie schijnt, zoals je hierboven ziet. Wat je ziet is een brandkromme of kaustiek.

Proberen we dit eens grafisch voor te stellen: teken voldoende lichtstralen ( gele verticale lijnen) en hun weerkaatsingen ( rode lijnen )
Hoe ontstaat die figuur nu? Neem een stukje van de tekening in detail:
Neem een willekeurig verticale rechte. Die snijdt de kaustiek in 1 bepaald punt. In de rechtse tekening zie je ook een aantal van de weerkaatste stralen in de omgeving van dit punt. Die snijden de verticale in een punt dat steeds hoger ligt dan het snijpunt van die verticale met de brandkromme. Het punt op de brandkromme is dus eigenlijk het minimum van de y-waarden van de snijpunten van de weerkaatste stralen met de verticale.

Rekenen nu:

  • Geef de verticale de vergelijking x = a en veronderstel dat de cirkel straal 1 heeft.
  • De invallende straal door P(cos t, sin t) wordt weerkaatst door
    Q( cos 3t, sin 3t). Dit is duidelijk door gebruik te maken van de gelijkheid van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek en het feit dat invalshoek en brekingshoek gelijk zijn.
  • De richtingcoëfficiënt van de weerkaatste straal is \dfrac{\sin 3t-\sin t}{\cos 3t-\cos t}=-\cot 2t.
  • De vergelijking van de weerkaatste straal is dan: y-\sin t=-\cot 2t(x-\cos t) en snijdt de verticale dus in het punt met y-waarde

        \[y=\sin t -\cot 2t(a-\cos t)\]

  •  We zoeken nu naar het minimum van y als t varieert. Uit y’ = 0 volgt na wat rekenwerk dat 

        \[a=\frac{1}{4} \cos 3t +\frac{3}{4} \cos t\]

  • De bijhorende y-waarde is dan y=\frac{1}{4} \sin 3t +\frac{3}{4} \sin t.
  • De parameter vergelijking van de brandkromme is dan gegeven door x=\frac{1}{4} \cos 3t +\frac{3}{4} \cos t, y=\frac{1}{4} \sin 3t +\frac{3}{4} \sin t.