Maandelijks archief: maart 2019

Nootje 7

Geplaatst op door

Zoek de maximale waarde van b in P(x)=ax^2+bx+c, als a,b en c reële getallen zijn en |P(x)|\leq 1 voor -1 \leq x\leq 1. Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Antwoord

  • We weten dat b=\dfrac{1}{2}(P(1)-P(-1)).
  • Nu zijn zowel P(1) als P(-1) volgens het gegeven kleiner dan of gelijk aan 1, dus is b \leq \dfrac{1}{2}(1+1)=1.
  • De maximale waarde voor b is dus 1.
  • Neem P(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-1. Omdat 0\leq x+1\leq 2  is |P(x) | \leq 1. Bovendien is na uitwerking P(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}, zodat b=1.

Delannoy getallen

Geplaatst op door

Beschouw in het vlak de punten P(x,y) met  natuurlijke getallen als coördinaten .Je kan je verplaatsen in het vlak volgens de vectoren (1,0) , (0,1)  en (1,1). Het aantal manieren waarop men vanuit de oorsprong het punt P(m,n) kan bereiken noemt men het Delannoy getal d(m,n), vernoemd naar de Franse legerofficier en amateur wiskundige Henri-Auguste Delannoy (28 sept 1833 – 5 febr 1915). Bij definitie stellen we d(0,0)=1.

Onderstaande tekening laat zien dat er bijvoorbeeld 13 mogelijke manieren zijn om het punt P(2,2) te bereiken:

Een tabel met enkele waarden van de Delannoy getallen :

We geven enkele eigenschappen:

  • d(m,0) = d(0,n) = 1
  • Er is een recursief verband tussen deze getallen: d(m,n) = d(m – 1,n) + d(m,n – 1) + d(m – 1,n – 1): elk getal in bovenstaande tabel is de som van zijn linkerbuur, zijn bovenbuur en het getal linksboven. Dit wordt beter geïllustreerd als we de tabel geven in de vorm van de driehoek van Pascal. ( teken de diagonalen van bovenstaande tabel). Nu is elk getal de som van de driehoek erboven.
  • We stellen de verplaatsingen over (1,0), (0,1) en (1,1) respectievelijk voor door O,N en D. Wanneer we k keer D gebruiken om P(m,n) te bereiken,  moeten we m – k keer O en n – k keer N gebruiken. Om te berekenen op hoeveel manieren dit kan, maken we gebruik van de formule van de herhalingspermutaties : we moeten
    k + (m – k) + (n – k ) = m + n – k symbolen rangschikken, waarvan er k van het soort D zijn , m – k van het soort O en  n – k van het soort N. We vinden dus voor elke waarde van k kleiner of gelijk aan het minimum van m en n als aantal mogelijkheden:

        \[\dfrac{(m+n-k)!}{k! (m-k)! (n-k)!}\]

    In het totaal heb je dan :

        \[\sum_{k=0}^{ min(m,n)}\dfrac{(m+n-k)!}{k! (m-k)! (n-k)!}\]

  • Op de tweede rij en tweede kolom vinden we alle oneven getallen :
    d(m,1) = 2m+1. Dit is gemakkelijk te bewijzen met bovenstaande formule

Bewijs zonder woorden

Geplaatst op door

We maken gebruik van volgende stellingen:

  • De sinusregel die zegt dat sin x = 2R .a waarbij a de zijde is tegenover hoek x en waarbij R de straal is van de omgeschreven cirkel. Zo bepalen we in de tekening de zijden met lengte sin x, sin y en
    p = sin (x + y).
  • Een omtrekshoek op een halve cirkel is recht. In combinatie met vorig punt vinden we zo de zijden met lengte cos x en cos y.
  • In een koordenvierhoek is de som van de producten van de overstaande zijden gelijk aan het product van de diagonalen. Zo vinden we een uitdrukking voor p.

Cryptharithmetica

Geplaatst op door

Een cryptharitmetica is een wiskundige puzzel die als doel heeft de originele cijfers terug te vinden in een code. Verschillende letters staan voor verschillende cijfers. Een eenvoudig voorbeeld is : AT + A = TEE.

De T is een overdracht uit de kolom van de tientallen dus met T = 1. We krijgen dus A1 + A = 1EE. Bekijken we nu de kolom van de tientallen: omdat A niet gelijk is aan E, moet er een overdracht zijn uit de kolom van de eenheden, dus A + 1 = 10 +E. Hieruit volgt dat A = 9 en E = 0. De oplossing is dus 91 + 9 = 100.

Er bestaan veel van deze puzzels. Sommige bevatten , in de taal waarin ze geschreven zijn, een amusante uitspraak.  Een paar voorbeelden:

Of in het Nederlands ( naar de bekende Nederlands zwemster Ada Kok, wereldtop op de vlinderslag) : ADA / KOK = .SNELSNELSNEL…